Зависимые и независимые случайные события

Событие называется независимым от события , если наступление события не меняет вероятности события , т.е. если условная вероятность равна вероятности события : . В противном случае, то есть когда , событие называется зависимым от события .

Некоторые свойства независимости событий

1). Если событие не зависит от события , то и событие не зависит от события . В этом случае события и называются просто независимыми событиями.

2). Правило умножения вероятностей двух независимых событий.

Если и – независимые события, то

,

т. е. вероятность совместного наступления двух независимых событий равна произведению их вероятностей.

3). Признак независимости двух событий.

Если для некоторых случайных событий и справедливо соотношение

,

то эти события являются независимыми.

4). Если и – независимые события, то независимыми также являются следующие события: и , и , и .

События называются независимыми в совокупности, если:

а) они попарно независимы, то есть независимыми являются любые два события из данных;

б) независимыми являются каждое из данных событий и любое произведение остальных.

Пример. События являются независимыми, если независимы события: и , и , и , и , и , и .

Замечание. Из попарной независимости не следует независимость в совокупности.

Вероятность совместного наступления нескольких независимых случайных событий, т.е. вероятность их произведения, равна произведению вероятностей этих событий:

.