Условная вероятность

Определение 1. Условной вероятностью события при условии, что событие произошло, называется величина, которая обозначается символом и вычисляется по формуле

, где .

Выясним смысл определения условной вероятности, данного выше, в случае классической схемы.

Пусть – общее число равновозможных элементарных исходов; – число элементарных исходов, благоприятствующих событию ; – число элементарных исходов, благоприятствующих событию , которые также благоприятствуют событию , то есть число элементарных исходов, благоприятствующих событию . Согласно классическому определению вероятности

.

С учетом этих формул получаем .

Полученное соотношение означает, что в классическом случае условную вероятность можно вычислять по формуле классического определения вероятности, если в качестве элементарных исходов рассматривать только элементарные исходы, благоприятствующие событию .

Обобщая полученный результат на случай произвольного пространства элементарных исходов, условную вероятность можно определить также следующим образом.

Определение 2. Условной вероятностью события при условии, что событие произошло, называют вероятность события , вычисленную в предположении, что событие уже наступило.

Замечания

а). Определения 1 и 2 условной вероятности эквивалентны.

б). Значение определения 2 состоит не только в том, что оно вскрывает смысл условной вероятности, но и в том, что оно дает иной способ вычисления этой величины, независимый от формулы определения 1.

в). В общем случае .

г). Условная вероятность удовлетворяет всем аксиомам теории вероятностей:

1). ;

2). ;

3). Если , то

.

Пример. Из ящика, содержащего 6 белых и 3 черных шара, наудачу последовательно извлекаются два шара. Найти вероятность того, что вторым извлечен белый шар, если известно, что первым был извлечен черный шар.

Решение.

Опишем события: {первым извлечён чёрный шар}, . Необходимо найти условную вероятность .

Первый способ (согласно определению 1).

Пространство элементарных исходов представляет собой совокупность упорядоченных пар шаров, следовательно . Число исходов, благоприятствующих наступлению события , . Следовательно, . Вместе с тем .

Поэтому .

Второй способ (согласно определению 2).

Так как событие наступило, то в ящике осталось 8 шаров, среди которых 6 белых. Поэтому .