Тема 1. Краткие сведения из теории чисел

СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

1. Особенности школьного курса математики по многочленам и целым числам. Сходство и различие в определениях делимости, деления с остатком, в алгоритмах нахождения остатка, НОД и НОК, понятия корня уравнения.

2. Системы счисления. Позиционные и непозиционные системы счисления. Запись натурального числа в позиционных системах счисления, теорема о существовании и единственности. Перевод из одной системы счисления в другую. Составление таблиц Пифагора. Алгоритмы действий с систематическими числами. Применение систем счисления и решение задач, связанных с системами счисления.

3. Систематические дроби. Запись обыкновенных дробей в различных системах счисления, конечные и бесконечные - ичные дроби. Нахождение НОЗ в десятичной системе счисления.

4. Признаки делимости. Понятие признака делимости. Основной признак делимости Паскаля. Вывод основных признаков делимости в десятичной системе счисления. Применение к решению школьных задач.

5. Решение уравнений в целых числах. Основные приёмы решения задач школьного курса математики в целых числах. Задачи с целочисленными переменными. Теорема Виета и обратная к ней.

6. Нахождение остатков от деления школьными методами.

7. Симметрические многочлены. Алгоритм выражения симметрического многочлена через элементарные симметрические многочлены. Применение теории симметрических многочленов к решению задач школьного курса математики. Некоторые приёмы перевода решения задач методами высшей математики на язык школьной математики.

8. Схема Горнера. Применение схемы Горнера к решению задач.

9. Разложение многочленов на множители. Основные примы разложения многочленов с целыми коэффициентами на множители с целыми коэффициентами.

10. Освобождение от иррациональности в знаменателе. Понятие алгебраической иррациональности. Метод освобождения от иррациональности в знаменателе

Тема 1. Краткие сведения из теории чисел

1. Делимость. Деление с остатком.

Определение. Целое число a делится на целое число b, если существует целое число c такое, что a = b ∙ c.

Обозначение. a⋮b – a делится на b.

Теорема 1.1. (Об основных свойствах делимости целых чисел). Для любых целых чисел a, b и c справедливы следующие свойства:

1) a⋮a. 2) Если a⋮b и b⋮c, то a⋮c. 3) Если a⋮b, то (±a)⋮(±b). 4) Если a⋮c и b⋮c, то (a±b) ⋮c. 5) Если a⋮b, то и (a∙c) ⋮b. 6) Если a⋮b и c не делится на b, то a±c не делится на b. 7) 0⋮b. 8) a⋮1. 9) Если a≠0, то не существует такого числа b, что 0∙b=a. 10) Если a≠0 и a⋮b, то | a|≥ | b |. 11) Если a⋮b, то для любого натурального числа n: aⁿ⋮bⁿ.

Следствия. 1) Если a - целое число такое, что 1⋮a, то a=±1. 2) Если a, b - целые числа такие, что a⋮b и b⋮a, то a=±b.

Определение. Разделить целое число a на целое число b с остатком – значит, найти целые числа q и r такие, что 1) a=b∙q+r, 2) 0≤r<|b |.

Замечания. 1) При делении целого числа a на целое число b≠0 с остатком число r называют остатком, а число q - неполным частным. Если при этом r=0, то q называют полным частным. 2) В школьном курсе математики понятие деления с остатком обычно рассматривается только для натуральных чисел.

Пример 1.

1) a = 125, b = 7, 125=7∙17+6, q =17, r =6;

2) a= 125, b= -7, 125=(-7)∙(-17)+6, q= -17, r= 6 ;

3) a= -125, b= 7, -125=7∙(-18)+1, q= -18, r= 1 ;

4) a= -125, b= -7, -125=(-7)∙18+1, q= 18, r= 1 ;

5) a= 7, b= 125, 7=125∙0+7, q= 0, r= 7 ;

6) a= -7, b= 125, -7=125∙(-1)+118, q= -1, r= 118;

7) a= -7, b= -125, -7=(-125)∙1+118, q= 1, r= 118;

8) a= 0, b= 7, 0=7∙0+0, q= 0, r= 0.

Теорема 2.1. Любое целое число a можно разделить с остатком на любое целое число b≠0, причём единственным образом.