Многомерный случайный вектор

Как и ранее, будем обозначать случайный вектор и его компоненты греческими буквами, а значения, которые они принимают, – латинскими:

, .

Функция распределения и плотность распределения многомерного случайного вектора определяются по аналогии с такими же характеристиками двумерного вектора (см. разд. 1.7.1):

,

.

Моменты отдельных компонент случайного вектора вычисляются по формулам, аналогичным формулам разд. 1.7.2.

Начальные моменты k- го порядка

,

центральные моменты k -го порядка

.

В частности математические ожидания и дисперсии i – х компонент:

,

.

Из бесчисленного количества комбинаций смешанных моментов запишем только ковариации, то есть центральные смешанные моменты порядка 1, 1:

,

где – коэффициент корреляции компонент и , – среднеквадратические значения этих компонент.

Математическое ожидание, ковариационная и корреляционная матрицы многомерного случайного вектора:

,

,

.

Обе матрицы симметричны и неотрицательно определены. Если компоненты вектора независимы или хотя бы некоррелированы, то матрицы диагональны, а корреляционная матрица есть единичная матрица.

Маргинальные (частные) и условные плотности распределения могут быть многомерными:

,

,

где m = 1, 2,..., n – 1.

Характеристическая функция многомерного случайного вектора записывается в векторном виде так же, как в разд. 1.7.5:

,

где вектор есть .

Ее свойства, перечисленные в разд. 1.7.5, полностью сохраняются.

Математическое ожидание и ковариационная матрица вектора ψ, который получается в результате линейного преобразования вектора ξ: , выражаются, формулами, которые были получены в разд. 1.7.4:

, .

Многомерная нормальная плотность распределения имеет вид

.

Сечения этой поверхности плоскостями – многомерные эллипсоиды.

Принадлежность случайного вектора n -мерному нормальному распределению будем обозначать, как .

Дифференциальная (относительная) энтропия нормального случайного n -мерного вектора равна

.