Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Задан общий вид линейной функции случайного вектора:
,
где – неслучайный вектор, A – квадратная матрица:
.
Найти математическое ожидание и ковариационную матрицу случайного вектора .
,
то есть, как и ранее, математическое ожидание линейной функции от случайного вектора есть функция от математического ожидания.
Для нахождения ковариационной матрицы вектора воспользуемся математическим определением ковариационной матрицы, приведенным в разд. 1.7.3, и только что полученным выражением для математического ожидания линейной функции случайного вектора:
.
В конечном итоге получим важную формулу:
.
Как и ранее, мы видим, что ковариационная матрица не зависит от вектора , то есть от систематического (не случайного) сдвига случайного вектора.
Возможно так подобрать матрицу A, чтобы ковариационная матрица оказалась диагональной, и тем самым компоненты вектора – некоррелированными.
Рассмотрим важный частный случай, когда матрица A = (a, b), а вектор состоит из одной компоненты. В этом случае вместо вектора имеем скаляр, и рассматриваемое преобразование выглядит следующим образом:
.
Пользуясь только что полученной формулой, получим
.
Ковариационная матрица (в нашем случае – дисперсия) получается после преобразований, которые мы осуществим по формуле для ковариационной матрицы:
.
Перемножив эти два вектора, окончательно получим
.
В частном случае, когда x и h независимы, дисперсия случайной величины y = a x + b h
.
Если a = b = 1, эта формула приобретает совсем простой вид и означает, что дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: .
Полученные формулы справедливы вне зависимости от вида плотности распределения участвующих случайных величин.
Дата публикования: 2014-10-20; Прочитано: 715 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!