Двух независимых случайных величин

Поскольку x и hнезависимы, совместная плотность распределения j(x,y) = . Сделаем замену x = z – y, тогдаj(z - y,y) = , после чего найдем маргинальную плотность распределения

.

Если вначале сделать замену y = z - x, то получим

.

Рассмотрим эту задачу с других позиций.

Ранее мы обращали внимание на то, что интегральное преобразование, которое связывает плотность распределения и характеристическую функцию случайной величины, аналогично преобразованию Фурье и обладает его свойствами. В настоящем разделе мы используем следующее свойство преобразования Фурье: преобразование Фурье свертки двух функций есть произведение образов Фурье каждой из этих функций. В силу взаимной однозначности преобразования Фурье справедливо и обратное, то есть преобразование Фурье произведения функций есть свертка их Фурье-образов.

Если y = x + hи величины x и h независимы, то характеристическая функция их суммы есть произведение характеристических функций слагаемых . Прямое преобразование Фурье этого произведения, в соответствии с указанным выше свойством, есть свертка плотностей распределения слагаемых:

.

Применительно к плотностям распределения эту операцию иногда называют композицией.

Здесь мы еще раз вспомним о центральной предельной теореме, в соответствии с которой с увеличением числа независимых слагаемых случайных величин их сумма асимптотически нормальна, а это значит, что многократная свертка плотностей распределений должна приводить к плотности распределения, приближающейся к нормальной.