Задачи математической статистики

Основными задачами математической статистики являются:

1) определение числовых характеристик, параметров и свойств случайных величин по результатам экспериментов (испытаний);

2) проверка статистических гипотез о числовых характеристиках, параметрах и свойствах случайных величин по результатам экспериментов (испытаний);

Все значения, которые может принимать случайная величина x, образуют генеральную совокупность X. При выполнении экспериментов (испыта­ний) из генеральной совокупности извлекаются значения

,…

которые называются выборочными значениями, а массив выборочных значений называется выборкой. Количество выборочных значений n – объем выборки. В ряде случаев нам будет удобно обозначать выборку с помощью вектора выборочных значений , где индекс n обозначает объем выборки, то есть размерность этого вектора.

Пусть F (x), j(x) – функция распределения и плотность распределения случайной величины x. В дальнейшем будем называть их, а также их числовые характеристики и параметры генеральной функцией распределения, генеральной плотностью распределения, генеральными числовыми характеристиками и генеральными параметрами соответственно. Оценки функции распределения, плотности распределения, числовых характеристик и параметров, полученные по выборочным значениям, будем называть выборочными.

В математической статистике принято, что все эксперименты (испытания) выполняются таким образом, чтобы выборочные значения были независимыми в смысле определения независимости, сформулированного в разд. 1.2.3, 1.7.1. Поэтому в дальнейшем будем предполагать, что эксперимент (испытания) организован таким образом, чтобы это условие обеспечивалось.

В дальнейшем нам придется говорить о случайности выборочных значений и соответственно – о случайности оценок характеристик и параметров, полученных путем обработки выборочных значений.

Противоречивость ситуации состоит в следующем. С одной стороны, выборочные значения, которые получены в результате эксперимента, – это реализации значений, принятых случайной величиной, и они не являются случайными. С другой стороны, при повторении n экспериментов выборочные значения будут иными. То есть выборочные значения и вектор выборочных значений являются функциями случайных событий. Поэтому в дальнейшем будем считать выборочные значения случайными на множестве групп экспериментов (испытаний) объемом nкаждая, выполняемых в одних и тех же неизменных заранее сформулированных условиях. В терминах и аксиоматике, введенных в разд. 1, это означает, что в качестве элементарного события будем рассматривать исход одного эксперимента, результатом которого является получение выборочного вектора х. В таких условиях это случайный n -мерный вектор с независимыми одинаково распределенными компонентами, поскольку все выборочные значения в соответствии с соглашениями, принятыми в математической статистике, извлечены из одной генеральной совокупности. Вероятностная мера на этом множестве порождена вероятностной мерой, которая определена генеральной совокупностью исследуемой случайной величины x.