Ковариационная матрица случайного вектора

Компонентами ковариационной матрицы являются центральные моменты компонент случайного вектора: вторые центральные моменты и ковариации. Математическое определение ковариационной матрицы:

.

Математическое ожидание случайной матрицы есть матрица, каждый элемент которой есть математическое ожидание соответствующего элемента исходной случайной матрицы. В итоге ковариационная матрица двумерного случайного вектора приобретает вид

.

Как видно, это симметричная квадратная матрица, ее размер соответствует размерности исходного случайного вектора. Определитель этой матрицы вычисляется достаточно просто:

.

Если случайные компоненты вектора независимы или хотя бы некоррелированы, ковариационная матрица становится диагональной, а ее определитель равен произведению диагональных элементов:

.

При взаимно однозначной связи между x и h,например линейной ,коэффициент корреляции , а из этого следует, что определитель ковариационной матрицы равен нулю, то есть в этом случае матрица оказывается особенной. Этого следовало ожидать, поскольку если между составляющими случайного вектора существует взаимно однозначная связь, то, по сути дела, существует всего одна случайная величина, случайный вектор вырождается в скалярную (одноразмерную) случайную величину, и ковариационная матрица содержит только один элемент, то есть также вырождается в скаляр, а именно в значение дисперсии.

Для представления степени взаимной зависимости между компонентами случайного вектора применяется корреляционная матрица, элементами которой являются коэффициенты корреляции

.

Если компоненты случайного вектора независимы или хотя бы некоррелированы, корреляционная матрица становится единичной матрицей.