Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Рассмотрим двумерный случайный вектор, то есть двумерный вектор, каждая составляющая которого есть непрерывная случайная величина:
.
Как и ранее, случайный вектор и его случайные компоненты обозначим греческими буквами, а значения, которые может принимать вектор и его компоненты – соответствующими латинскими буквами, то есть будем считать, что случайный вектор ζ принимает значения
.
Функция распределения двумерного случайного вектора есть вероятность совместного осуществления событий:
.
Плотность распределения, как и ранее, есть производная от функции распределения по обоим аргументам:
,
поэтому
.
Область интегрирования показана на рис. 23.
В силу монотонности вероятностной меры функция распределения – неубывающая функция по каждому аргументу, поэтому плотность распределения есть неотрицательная функция двух аргументов, которая описывает некоторую поверхность над координатной плоскостью. Эта поверхность приближается к плоскости x0y при удалении значений аргументов от начала координат в любом направлении. Понятно, что
.
Если по одному из аргументов ограничений нет, то
.
.
Таким образом мы получили маргинальные (частные) функции распределения и . Дифференцирование этих функций по их аргументам, то есть дифференцирование соответствующих интегралов по их верхним пределам, по определению, дает маргинальные (частные) плотности распределения:
, .
Определим условную функцию распределения, то есть функцию распределения одной из случайных величин при условии, что другая случайная величина принимает некоторое конкретное значение, например,
.
Выделим на координатной плоскости область, показанную на рис. 24.
Вероятность того, что случайный вектор принимает значения из этой области, равна . В соответствии с формулой для условной вероятности из разд. 1.2.3
.
Условная функция распределения получается в результате предельного перехода:
.
По теореме о среднем, внутри интервала найдется точка , такая, что
,
поэтому
.
Условная плотность распределения есть производная от условной функции распределения:
.
Аналогично
.
Обычно обозначают и . В этих обозначениях из полученных формул следует
, .
С учетом этих соотношений перепишем формулы для маргинальных распределений в виде:
, .
Это формулы полной вероятности для непрерывных случайных величин.
Поскольку = , получаем формулу Байеса для непрерывных случайных величин:
.
Если x и h независимы, то , и поэтому .
Справедливо и обратное: если , то из этого с необходимостью следует независимость x и h.
Признак независимости случайных величин: две случайные величины независимы тогда и только тогда, когда их совместная плотность распределения может быть представлена как произведение маргинальных плотностей распределения этих величин (см. также разд. 1.2.3).
Дата публикования: 2014-10-20; Прочитано: 2115 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!