Неравенство Чебышева

Неравенство Чебышева позволяет сделать грубую, но быструю оценку вероятности отклонения значений случайной величины от ее математического ожидания, превышающих некоторое заданное положительное значение A: .

Несмотря на грубость получаемой оценки неравенство Чебышева имеет достаточно широкое и полезное применение благодаря тому, что оно справедливо для любых законов распределения, кроме закона распределения Коши. С одним из таких применений мы познакомимся в разделе 2 «Математическая статистика».

Запишем вероятность, подлежащую оценке, как интеграл от плотности распределения случайной величины x по отрезкам оси

(-¥, M [x]- A ], (M [x]+ A, ¥),

то есть по множеству , как это видно из рис. 22:

.

Окончательно .

Существуют другие записи неравенства Чебышева:

если A = k s, то

или .

Для того, чтобы оценить степень грубости оценки, вытекающей из неравенства Чебышева, сопоставим ее с точными значениями вероятностей, установленными в разд. 1.6.6.4 для нормально распределенной случайной величины.

Точные значения:

,

Значения вероятностей, полученных из неравенства Чебышева для тех же отклонений значений случайной величины от математического ожидания:

, .