Числовые характеристики. Общий вид линейного преобразования случайного вектора есть умножение его на матрицу и добавление произвольного неслучайного вектора:

Общий вид линейного преобразования случайного вектора есть умножение его на матрицу и добавление произвольного неслучайного вектора:

.

Раскроем это преобразование:

.

Вычислим вначале математическое ожидание от первой составляющей первого из векторов:

.

Точно так же

.

Поэтому

.

В соответствии с математическим определением ковариационной матрицы

.

Таким образом, если случайный вектор ζ претерпевает преобразование , то математическое ожидание и ковариационная матрица результата такого преобразования вычисляются по формулам

, .

Мы снова убеждаемся в том, что ковариационная матрица не зависит от смещения, которое задается вектором b.

Рассмотрим в качестве примера важный частный случай. Пусть матрица A имеет вид , а вектор . Тогда y – скаляр (y = ), и ковариационная матрица также вырождается в скаляр, а именно в дисперсию, которую будем обозначать Най­дем математическое ожидание и дисперсию случайной величины y, пользуясь полученными формулами.

,

.

Перемножив эти два вектора, окончательно получим

Частные случаи:

случайные величины x и h независимы или хотя бы не коррелированы, тогда ;

коэффициенты a = b = 1, то есть случайная величина y есть сумма двух не коррелированных случайных величин x и h, тогда , то есть дисперсия суммы не коррелированных случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых.