Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Числовые характеристики, а именно моменты отдельных составляющих вектора ζ определяются через маргинальные (частные) распределения точно так же, как для одномерной (скалярной) дискретной случайной величины:
начальные моменты k -го порядка
, ,
в частности, математические ожидания
, ;
центральные моменты k -го порядка
,
,
в частности, дисперсии
,
.
Для составляющих случайного вектора определены смешанные моменты:
начальные моменты порядка k, r
;
центральные моменты порядка k, r
.
Особое значение для дальнейшего имеет центральный смешанный момент порядка (1, 1),который называется корреляционным моментом или ковариацией:
.
Для того чтобы установить соотношение между центральным и начальным смешанными моментами раскроем скобки в последнем выражении и выполним несложные преобразования:
.
Окончательно получим .
Если x и h независимы, то
.
Но, как было установлено в разд. 1.3.3, и , поэтому центральный смешанный момент независимых случайных величин равен нулю. Однако из того, что = 0, независимость случайных величин x и h,вообще говоря,не следует. О случайных величинах, корреляционный момент которых равен нулю, говорят, что они не коррелированы. Для оценки степени коррелированности случайных величин в приложениях удобнее использовать безразмерный коэффициент корреляции . Его значение не зависит от масштаба, в котором выражены значения случайных величин:
.
С целью определения диапазона значений коэффициента корреляции рассмотрим крайний случай взаимно однозначной зависимости между x и h,а именно допустим, что h = a x + b. Другой крайний случай, а именно независимость x и h,рассмотрен ранее в настоящем разделе.
Из предположенной линейной зависимости следует (см. также разд. 1.3.4):
, ,
.
После простых преобразований получим
,
.
Таким образом мы установили, что коэффициент корреляции не превышает единицу по абсолютной величине: .
Математическое ожидание случайного вектора – вектор, составляющие (компоненты) которого суть математические ожидания соответствующих компонент:
.
Дисперсии компонент случайного вектора ζ и их ковариации объединяют в ковариационную матрицу следующим образом:
.
В теории вероятностей часто используется корреляционная матрица, которая получается из ковариационной матрицы путем деления ее элементов на произведение среднеквадратических значений:
.
Эти матрицы симметричны и неотрицательно определены. Если компоненты случайного вектора независимы или хотя бы не коррелированы, матрицы и диагональны.
Математическое определение ковариационной матрицы:
,
где Т – символ транспонирования.
Раскроем это выражение.
.
Математическое ожидание случайной матрицы есть матрица, элементы которой суть математические ожидания:
=
,
с чем мы уже ознакомились в настоящем разделе.
Дата публикования: 2014-10-20; Прочитано: 542 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!