Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Производящей функцией моментов случайной величины x называется математическое ожидание функции y (n) = exp(nx), где n – аргумент производящей функции моментов:
.
Производящая функция моментов обладает рядом полезных свойств.
1) ;
2) Первая производная от по аргументу n:
, при n = 0 получим ;
3) Вторая производная от по аргументу n:
, при n = 0 получим
;
4)k - я производная от по аргументу n:
,при n = 0 получим
.
Таким образом, чтобы получить значение k -го начального момента, достаточно продифференцировать производящую функцию моментов k раз по n и подставить в полученную производную n = 0.
П р и м е р. Написать производящую функцию моментов для биномиального распределения и вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины, распределенной по биномиальному закону.
.
Первая производная от по n
.
Вторая производная от по n
.
Вычислим эти производные при n = 0:
, .
Окончательно получим: M [ m ] = np, D[ m ] = np (1 – p) = npq.
Сопоставляя полученное выражение для математического ожидания числа появления события A в испытаниях по схеме Бернулли с наиболее вероятным значением этого числа, видим, что они совпадают.
З а м е ч а н и е о сходимости распределений вероятности и производящих функций моментов.
Пусть имеется последовательность распределений вероятностей дискретной случайной величины .
Пусть – производящие функции соответствующих распределений из этой последовательности, которые также образуют последовательность
Если последовательность сходится, имеет предел и пределом этой последовательности является распределение , то последовательность также сходится, имеет предел, и ее пределом является производящая функция моментов предельного распределения. Справедливо и обратное утверждение.
Обратим внимание на то, что конструкция производящей функции моментов близка конструкции обратного дискретного преобразования Фурье, отсюда вытекают полезные свойства производящих функций моментов и близость их свойств свойствам дискретного преобразования Фурье.
Дата публикования: 2014-10-20; Прочитано: 2539 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!