Теорема Пуассона

Проанализируем асимптотическое поведение вероятности появления m событий в схеме Бернулли при n ® ¥, np = const= a. Цель – упрощение вычислений, трудоемкость которых сильно возрастает с ростом n.

Задача состоит в нахождении предела последовательности:

.

Из равенства np =a следует, что p = . Кроме того,

.

В полученном выражении первый сомножитель не содержит n. Предел последнего сомножителя при n ® ¥равен . Пределы остальных сомножителей при n ® ¥равны 1. В результате получаем асимтотическое представление вероятностей из схемы Бернулли, или, что то же самое, биномиального распределения, в виде

.

Этот результат получен Пуассоном и успешно применяется для расчета вероятностей редких событий (при n ® ¥вероятность p стремится к 0) при массовых явлениях (испытаниях, опытах).

Полученные предельные значения вероятностей образуют в совокупности распределение вероятностей случайной величины. В самом деле,

.

Это распределение называется распределением Пуассона. Математическое ожидание и дисперсия этой случайной величины равны

M [ m ] = D [ m ] = a = np.

Производящая функция распределения Пуассона:

.

1.3.7. Локальная теорема Муавра-Лапласа

В отличие от теоремы Пуассона теорема Муавра-Лапласа посвящена установлению асимптотики для вероятностей событий по схеме Бернулли при n ® ¥ и при p = const.

Здесь без вывода и доказательства приводится результат, полученный Муавром и Лапласом.

Напомним, что в разд. 1.3.5 были получены следующие выражения для математического ожидания и дисперсии случайной величины: числа появления события A при n испытаниях по схеме Бернулли

M [ m ] = np, D [ m ] = npq = np (1 -p),

где p – вероятность появления события A при одном испытании.

В соответствии с локальной теоремой Муавра-Лапласа значения вероятностей при n ® ¥и p = constаппроксимируются функцией

.

Эта функция симметрична и имеет максимум при m = np.