Биномиальное распределение вероятностей

Схема Бернулли порождает дискретную случайную величину, а именно количество случаев появления события A в последовательности n независимых испытаний. Множество значений, которые может принимать эта случайная величина: m = 0, 1, 2, 3,..., n. Вероятности, с которыми случайная величина принимает эти значения: . Для того чтобы убедиться, является ли набор этих вероятностей распределением, просуммируем их с использованием формулы бинома Ньютона:

.

Таким образом, случайная величина, порожденная испытаниями по схеме Бернулли, задана своими значениями и распределением вероятностей:

Это распределение называется биномиальным распределением.

Для того чтобы представить вид этого распределения, исследуем его на максимальное значение. Для этого вычислим отношение двух соседствующих значений вероятностей:

.

Выясним интервал возрастания вероятности, то есть интервал, в котором

.

В этом неравенстве все сомножители, делимые и делители больше нуля, поэтому его решение не вызовет у читателя затруднений. В результате получим, что интервал монотонного возрастания вероятности простирается от m = 0 до m = Ent[ np+p-1 ], где Ent[ · ] – целая часть числа.

Точно так же отыскивается область монотонного убывания:

,

откуда получаем, что монотонное убывание вероятности начинается от значения m = Ent[ np+p ].

Итак, мы нашли, что наибольшее значение вероятность в схеме Бернулли принимает при значении m, ближайшем к np. А это в свою очередь означает, что ближайшее целое к np есть наиболее вероятное значение количества появления события A в схеме Бернулли.