Распределение вероятностей дискретных случайных величин

Пусть , ,..., – полная группа непересекающихся событий , которые могут возникать при выполнении некоторых испытаний в условиях S. P , ,..., – вероятности событий .

Пусть также каждому из событий по какому-либо правилу поставлено во взаимно однозначное соответствие вещественное число . Так мы определили вещественную функцию случайных событий.

При выполнении испытаний эта функция будет принимать значения , ,..., с вероятностями .

Таким образом определена дискретная случайная величина x набором значений, которые она может принимать, и набором вероятностей, с которыми она может принимать эти значения:

.

Векторная запись этого определения экономнее: , где – вектор значений , ,..., , – вектор вероятностей .

Совокупность значений представляет собой наиболее полное описание дискретной случайной величины и называется распределением вероятностей.

Поскольку случайные события образуют полную группу непересекающихся событий,

Наряду с распределением вероятностей в теории вероятностей используется еще одна полная характеристика случайных величин, а именно, функция распределения вероятностей:

F (x) = P (x ).

На рис. 4 приведен пример графического представления распределения вероятностей и функции распределения вероятностей дискретной случайной величины. Распределение вероятностей дискретной случайной величины изображается решетчатой функцией, высота каждого вертикального отрезка пропорциональна вероятности, с которой случайная величина принимает соответствующее значение.

Как следует из математического определения, функция распределения является неубывающей ступенчатой функцией. Каждый скачок этой функции происходит при значениях, которые может принимать случайная величина, а высота этих скачков пропорциональна соответствующим вероятностям.

Примером дискретной случайной величины может служить величина, порожденная бросанием шестигранной игральной кости. Случайным событием является положение кости на плоскости, которое она принимает в результате ее бросания на эту плоскость. Число вариантов этих положений – шесть, и если кость выполнена в виде идеального куба, то эти положения равновероятны. Правило, в соответствии с которым каждому такому случайному событию сопоставлено число, реализовано путем нанесения на грани кости целых чисел от одного до шести. Таким образом определена случайная величина

.

Поскольку все вероятности одинаковы, распределение вероятностей подобного вида называется равномерным распределением, а соответствующая случайная величина – равномерно распределенной случайной величиной.

Графическое представление такого распределения – решетчатая функция с отрезками равной высоты. Высота ступенек функции распределения одинакова.