Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли)

При постоянных условиях S выполняется n независимых испытаний. Результатом каждого испытания может быть только одно из двух противоположных событий: A или . Введем обозначения для вероятностей этих событий: P (A) = p, P () = q = 1 - p.

Требуется найти вероятность того, что при указанных условиях событие A произойдет ровно m раз. Комбинаций, в которых событие A произойдет ровно m раз, может быть несколько. Реализация каждой такой комбинации – сложное событие, которое представляет собой последовательность событий A и .

Обозначим эти сложные события буквой B, индекс у которой будет соответствовать номеру одной из возможных последовательностей:

=

................

=

................

= .

Общее количество таких последовательностей равно числу сочетаний из n по m, поскольку порядок следования их элементов неразличим, то есть

.

События попарно несовместны, поэтому в соответствии с аксиомой о счетной аддитивности

,

но независимо от i, поэтому вероятность того, что при n независимых испытаниях событие A появится ровно m раз, равна

.