![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Теорема (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд сходится, если:
1) последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е. .
2) общий член ряда стремится к нулю: . При этом сумма S ряда удовлетворяет неравенствам
Пусть дан знакопеременный ряд , где
– произвольные числа (действительные или комплексные). Если ряд
, составленный из абсолютных величин его членов, сходится, то данный ряд
также сходится. В этом случае знакопеременный ряд
называется абсолютно сходящимся. Следовательно, если же знакопеременный ряд
сходится, а ряд
расходится, то данный ряд
называется условно сходящимся.
Пример 1. Исследовать на сходимость ряд Решение. 1. Исследуем на сходимость ряд
из абсолютных величин членов данного ряда:
=
.Сравним этот ряд с рядом
. Так как
<
, то
>
для всех n. Ряд
расходится, так как расходится ряд
(как ряд Дирихле
при p=
<1). Значит, по 1-му признаку сравнения расходится и ряд
.
Итак, исходный ряд не является абсолютно сходящимся.
2. Выясним, сходится ли данный знакочередующийся ряд, применяя признак Лейбница.
· Проверим, выполняется ли неравенство >
для абсолютных
величин членов данного ряда:
=
>
.
Данное неравенство эквивалентно неравенству <
, которое верно для любого n=1,2….Значит
для все номеров n = 1,2…
· Найдём предел общего члена ряда: =
= 0.
Таким образом, для данного знакочередующегося ряда выполнены оба условия, содержащиеся в признаке Лейбница, откуда следует, что исходный ряд сходится, однако он не является абсолютно сходящимся, поэтому данный ряд сходится условно. Ответ: ряд сходится условно.
Задание 6. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряды:
1) ![]() | 6) ![]() |
2) ![]() | 7) ![]() |
3) ![]() | 8) ![]() |
4) ![]() | 9) ![]() |
5) ![]() | 10) ![]() |
Дата публикования: 2014-10-20; Прочитано: 448 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!