 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость ряда
|
|
Теорема (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд сходится, если:
1) последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е. 
.
2) общий член ряда стремится к нулю: 
. При этом сумма S ряда удовлетворяет неравенствам 
Пусть дан знакопеременный ряд 
, где 
– произвольные числа (действительные или комплексные). Если ряд 
, составленный из абсолютных величин его членов, сходится, то данный ряд 
также сходится. В этом случае знакопеременный ряд 
называется абсолютно сходящимся. Следовательно, если же знакопеременный ряд 
сходится, а ряд 
расходится, то данный ряд 
называется условно сходящимся.
Пример 1. Исследовать на сходимость ряд 
Решение. 1. Исследуем на сходимость ряд 
из абсолютных величин членов данного ряда: 
= 
.Сравним этот ряд с рядом 
. Так как 
< 
, то 
> 
для всех n. Ряд 
расходится, так как расходится ряд 
(как ряд Дирихле 
при p= 
<1). Значит, по 1-му признаку сравнения расходится и ряд 
.
Итак, исходный ряд не является абсолютно сходящимся.
2. Выясним, сходится ли данный знакочередующийся ряд, применяя признак Лейбница.
· Проверим, выполняется ли неравенство 
> 
для абсолютных
величин членов данного ряда:
= 
> 
.
Данное неравенство эквивалентно неравенству 
< 
, которое верно для любого n=1,2….Значит 
для все номеров n = 1,2…
· Найдём предел общего члена ряда: 
= 
= 0.
Таким образом, для данного знакочередующегося ряда выполнены оба условия, содержащиеся в признаке Лейбница, откуда следует, что исходный ряд сходится, однако он не является абсолютно сходящимся, поэтому данный ряд сходится условно. Ответ: ряд 
сходится условно.
Задание 6. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряды:
1) 
| 6) 
|
2) 
| 7) 
|
3) 
| 8) 
|
4) 
| 9) 
|
5) 
| 10) 
|
Дата публикования: 2014-10-20; Прочитано: 448 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
