![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
5.1. Ряды Тейлора и Маклорена. Условия сходимости
рядов Тейлора к исходной функции
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки х 0:
и имеет производные любого порядка,
тогда для этой функции формально можно составить ряд по степеням :
,
где .
Определение 1. Обобщённый степенной ряд вида
называется рядом Тейлора для функции по степеням
. Если положить
, то получим ряд
, который носит название ряда Маклорена для функции
по степеням х.
Задача. Пусть задана функция , бесконечно дифференцируемая в окрестности точки х 0:
, и пусть для этой функции составлен ряд Тейлора по степеням
:
и его сумма равна
. Если интервал
является интервалом сходимости данного ряда с радиусом сходимости R, то можно записать равенство:
при всех .
Выясним, при каких условиях такой степенной ряд имеет своей суммой функцию , т.е. когда
, поскольку существуют функции, для которых сумма ряда Тейлора не совпадает с данной функцией.
Рассмотрим пример. Дана функция , которая является бесконечно дифференцируемой
. Вычислим производные этой функции в точке
:
Таким образом, все вычисленные коэффициенты ряда Тейлора–Маклорена для данной функции равны 0, поэтому этот ряд сходится на всей оси, его сумма тождественно равна 0:
, однако
при
(
только в начале координат).
Пусть ряд Тейлора имеет интервал сходимости
, где R – радиус сходимости. Тогда, если
− частичная сумма этого ряда, то для любого
существует
. Рассмотрим теорему, которая даёт условия того, что
.
Теорема 1 (необходимый и достаточный признак сходимости ряда Тейлора к функции f(x)). Для того чтобы ряд Тейлора ,
, имел своей суммой функцию
, т.е.
, необходимо и достаточно, чтобы
для всех существовал предел
, где
− остаток ряда Тейлора.
Доказательство. 1) Необходимость. Пусть функция есть сумма ряда Тейлора на указанном промежутке:
, или
, где
− частичная сумма ряда Тейлора,
− остаток ряда Тейлора. Из условия сходимости ряда
существует предел
, и так как
, то существует предел
,
т.е. . Необходимость доказана.
2) Достаточность. Пусть существует . Так как функция
бесконечно дифференцируема при всех
, то для неё имеет место формула Тейлора
для всех
, где
− остаточный член формулы Тейлора, который совпадает с остатком ряда Тейлора. Тогда частичная сумма соответствующего ряда Тейлора имеет вид:
.
Рассмотрим предел , который обозначим через
, учитывая, что
:
, т.е.
. Достаточность доказана.
Замечание. Если , то сумма ряда Тейлора может не совпадать
с данной функцией, т.е. , хотя сам ряд может сходиться к другой функции.
Необходимое и достаточное условие сходимости ряда Тейлора к
исходной функции неудобно для проверки на практике конкретных рядов; существуют более простые, хотя и более жёсткие, достаточные условия разложения функции в ряды Тейлора−Маклорена. Сначала сформулируем лемму.
Лемма. Для любого R существует следующий предел:
Доказательство. Рассмотрим степенной ряд , общий член которого
. Найдём радиус и область сходимости этого ряда, используя признак
Даламбера. Вычисляем предел, учитывая, что :
,
т.е. радиус сходимости ряда . Следовательно, рассмотренный ряд сходится для всех
R, тогда по необходимому признаку сходимости общий член ряда
,
, т.е.
для любого
R.
Теорема 2 (достаточные условия разложимости функции f(x) в ряд Маклорена). Пусть функция определена и бесконечно дифференцируема на интервале
. Если существует такое число
, что для каждого натурального
N и всех
выполняется неравенство:
(это означает, что производные любого порядка ограничены одним и тем же числом), тогда остаток ряда Маклорена
при
, а значит,
.
Доказательство. Покажем, что остаток ряда Маклорена стремится к нулю при . Запишем для функции
формулу Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа:
, где
− многочлен Маклорена, а
. Отметим, что частичная сумма ряда Маклорена
совпадает с многочленом Маклорена
, а остаток ряда есть
. Выполним его оценку, используя условия теоремы 2 и учитывая, что
для всех
:
.
По лемме при
, тогда
,
.
Следовательно, по теореме 1 о необходимом и достаточном признаке сходимости ряда Тейлора к исходной функции получаем . Теорема доказана.
5.2. Разложение основных элементарных функций в степенные ряды
Используем изложенную выше теорию для разложения основных элементарных функций в степенные ряды. Для разложения функции
в степенной ряд по степеням можно рекомендовать следующий
порядок действий:
1) Находим производные функции в точке
:
2) Составляем ряд Тейлора .
3) Находим интервал сходимости данного ряда: , где R – радиус сходимости.
4) Исследуем поведение остатка ряда для всех
Если окажется, что , то на основании теорем 1 и 2 делаем вывод, что
при всех
.
В результате получаем формулу разложения функции в степенной ряд.
· Разложение в степенной ряд функции имеет вид:
(1)
Вывод. Рассмотрим ряд геометрической прогрессии , знаменатель которой
и
. Можно показать, что интервал сходимости этого ряда
,
и сумма этого ряда
(сумма ряда бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле
). Оценим остаток ряда:
.
При
,
, тогда на основании теоремы 1
рассмотренный ряд имеет своей суммой функцию .
Разложение (1) имеет место.
· Разложение в степенной ряд функции имеет вид:
,
R (2)
Вывод. Для данной функции запишем ряд Маклорена:
. Так как функция
− бесконечно дифференцируема, то все производные существуют и равны
N.
Находим эти производные в точке ; получаем
для всех
N, тогда ряд Маклорена приобретает вид:
.
Этот ряд сходится для всех R. Покажем, что сумма этого ряда равна
. Фиксируем некоторое число
R и рассмотрим некоторый отрезок [− a; a ], на котором
для любого
N. В этом случае по теореме 2 данный ряд Маклорена будет сходиться на указанном отрезке к исходной функции
. Отметим, что это верно для любого фиксированного числа
R. Разложение (2) имеет место при всех
R.
· Разложение в степенной ряд функции имеет вид:
,
R (3)
Вывод. Для функции запишем ряд Маклорена
.
Находим все производные: ,
,
,
, …,
. Вычисляем эти производные в точке х = 0:
.
Подставив эти значения в ряд Маклорена, получаем ряд:
.
Данный ряд сходится при любом ; покажем, что он сходится к функции
. Согласно теореме 2 (поскольку
, т.е. все производные ограничены одним и тем же числом) данный ряд Маклорена будет сходиться к исходной функции
при всех
R. Таким образом разложение (3) имеет место.
· Разложение в степенной ряд функции имеет вид:
,
R (4)
Вывод. Рассмотрим разложение (3)
,
R. Продифференцируем данный степенной ряд; получившийся новый ряд будет также сходиться при всех
R к функции, которая равна производной от
(свойство 3, лекция 4, разд. 4.3), т.е.
.
Таким образом, разложение (4) имеет место.
· Разложение в степенной ряд функции имеет вид:
(5)
Разложение (5) приводится без вывода. Отметим, что оно верно при фиксированном R и называется биномиальным рядом.
При натуральном N этот ряд представляет собой конечную сумму, известную как бином Ньютона:
N.
Для нецелых m имеет место формула Тейлора:
При из этой формулы получаем бесконечный степенной ряд (5). Найдём радиус его сходимости, применяя признак Даламбера. Учитывая, что
,
, вычисляем предел:
,
тогда при ряд сходится и его радиус сходимости
, а интервал сходимости (−1;1); можно показать, что
,
.
Итак, разложение (5) верно для всех . В частном случае, когда
, из разложения (5) получаем ряд:
,
который при абсолютно сходится. Если в каждом члене ряда заменить х на (− х), то получим разложение (1):
.
· Разложение в степенной ряд функции имеет вид:
(6)
Вывод. Из разложения (5) биномиального ряда при получаем ряд геометрической прогрессии со знаменателем
,
который сходится при , т.е. этот ряд имеет интервал сходимости (−1;1) с радиусом сходимости
.
Полученный ряд почленно интегрируем на отрезке , используя свойство 3 (лекция 4, разд. 4.3); при этом интервал сходимости сохранится:
.
Сумма полученного ряда равна
(или , так как
).
Таким образом, , т.е. имеет место разложение (6) при
. Исследуя сходимость данного ряда в точке
, получаем числовой ряд
, который условно сходится. Таким образом, область сходимости ряда в разложении (6) имеет вид
, а радиус сходимости
.
· Разложение в степенной ряд функции имеет вид:
(7)
Вывод. Из разложения (5) биномиального ряда при получаем
разложение
,
из которого заменой на
вытекает следующий ряд:
,
сходящийся при , а именно, при
. Полученный ряд почленно интегрируем на отрезке
, используя свойство 3 (лекция 4, разд. 4.3); при этом интервал сходимости сохранится, обозначим
:
.
Сумма полученного ряда
.
Таким образом, , т.е. разложение (7)
имеет место при . Исследуя разложение (7) в точках
и
, получаем два условно сходящихся числовых ряда
и
соответственно. Таким образом, область сходимости ряда (7) является отрезком
, а радиус сходимости R равен 1.
· Разложение в степенной ряд функции имеет вид:
(8)
Вывод. Из разложения (5) биномиального ряда при и при замене
на
получаем разложение в степенной ряд:
.
Получившийся ряд сходится при . Этот ряд почленно проинтегрируем на отрезке
, используя свойство 3 (лекция 4, разд. 4.3); при этом интервал сходимости сохранится:
.
Сумма полученного ряда . Таким образом,
,
т.е. имеет место разложение (8) на интервале сходимости .
В заключение добавим, что все перечисленные в разделе 5.2 разложения называют основными разложениями элементарных функций в
степенной ряд, которые используются как эталонные для разложения
других функций.
Задания по теме «Ряды»
Выражение вида
,
где – члены ряда,
– n-й или общий член ряда, называется бесконечным рядом.
Если члены ряда:
· числа, то ряд называется числовым;
· числа, знаки которых строго чередуются, то ряд называется знакочередующимся;
· тригонометрические функции, то ряд называется тригонометрическим.
Дата публикования: 2014-10-20; Прочитано: 1304 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!