Элементы математической статистики

Задание 121-140. 1. В условии данной задачи необходимо: а). Перейти к вариационному ряду, и построить полигон частот; б). Найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию, исправленную выборочную дисперсию, исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение случайной величины Х; в). Построить доверительный интервал для генеральной средней и генерального среднеквадратического отклонения с заданным уровнем доверительной вероятности γ=0,95; г). Используя критерий Пирсона при уровне значимости a=0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина X– распределена по нормальному закону. Построить на одном графике гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

121. Для проверки качества поступившей партии зерна по схеме собственно-случайной бесповторной выборки произведено 10%-ное обследование. В результате анализа установлено следующее распределение данных о влажности зерна:

Процент влажности	6-8	8–10	10–12	12–14	14–16	16–18	18–20	20-22
Число проб

122. По схеме собственно-случайной бесповторной выборки проведено 5%-ное обследование вкладов в Сбербанк одного из городов. Результаты обследования 150 вкладов представлены в таблице:

Размер вклада, тыс. руб.	20-40	40–60	60–80	80–100	100–120	120–140	140-160
Число вкладов

123. По схеме собственно-случайной бесповторной выборки проведено 10%-ное обследование предприятий одной из отраслей экономики в отчетном году. Результаты обследования представлены в таблице:

Выпуск продукции, млн.руб.	20-30	30–40	40–50	50–60	60–70	70–80	80–90	90-100
Число предприятий

124. По схеме собственно-случайной бесповторной выборки проведено 10%-ное обследование предприятий одной из отраслей экономики в отчетном году. Результаты обследования представлены в таблице:

Выпуск продукции, млн.руб.	20-30	30–40	40–50	50–60	60–70	70–80	80–90	90-100
Число предприятий

125. Данные об урожайности зерновых культур в некотором регионе получены с помощью собственно-случайной бесповторной выборки. Результаты обследования 100 предприятий из 1000 приведены в таблице:

Урожайность, ц/га	20–30	30–40	40–50	50–60	60–70	70–80	80–90	90–100
Число предприятий

126. В результате выборочного обследования 100 предприятий из 1000 по схеме собственно-случайной бесповторной выборки, получено следующее распределение предприятий по росту производительности труда (в процентах по отношению к предыдущему году):

Рост производительности труда, %	13–17	17–21	21–25	25–29	29–33	33–37
Число предприятий

127. Для нахождения средней цены продовольственной корзины из 1000 городов России по схеме собственно-случайной бесповторной выборки отобрали 100 городов. Полученные данные представлены в таблице:

Стоимость продовольственной корзины, тыс. руб.	0,8-1,0	1,0–1,2	1,2–1,4	1,4–1,6	1,6-1,8
Число городов

128. Данные о продолжительности телефонных разговоров, отобранные по схеме собственно-случайной бесповторной выборки, приведены в таблице:

Время, мин	1,5–2,5	2,5–3,5	3,5–4,5	4,5–5,5	5,5–6,5	6,5–7,5	7,5–8,5	8,5–9,5	9,5–10,5
Число разговоров

129. Для нахождения среднего времени прорастания семян из большой партии по схеме собственно-случайной бесповторной выборки было отобрано 200 семян. Распределение семян по времени их прорастания представлено в таблице:

Время прорастания, дни	2-4	4–6	6–8	8–10	10–12	12–14	14-16
Число семян

130. По схеме собственно-случайной бесповторной выборки из 1500 участников соревнования было отобрано 100 человек. Их распределение по числу набранных баллов дано в таблице:

Число набранных баллов	52–56	56–60	60–64	64–68	68–72	72–76
Число участников

131. Для нахождения средней стоимости компьютера определенной комплектации из 500 компьютерных магазинов региона по схеме собственно-случайной бесповторной выборки было отобрано 100 магазинов. Распределение компьютеров по их стоимости представлено в таблице:

Стоимость компьютера, тыс. руб.	10–12	12–14	14–16	16–18	18–20	20–22
Число магазинов

132. С целью определения средней продолжительности обслуживания клиентов в пенсионном фонде, число клиентов которого очень велико, по схеме собственно-случайной бесповторной выборки проведено обследование 100 клиентов. Результаты обследования представлены в таблице:

Время обслуживания, мин.	0-2	2–4	4–6	6–8	8–10	10–12	12-14
Число клиентов

133. Из 1560 сотрудников предприятия по схеме собственно случайной бесповторной выборки отобрано 100 человек для получения статистических данных о пребывании на больничном листе в течение года. Полученные данные представлены в таблице:

Количество дней пребы-вания на больничном листе	1-3	3–5	5–7	7–9	9–11	11-13
Число сотрудников

134. В некотором городе по схеме собственно случайной бесповторной выборки было обследовано 80 магазинов розничной торговли из 2500 с целью изучения объема розничного товарооборота. Получены следующие данные:

Товарооборот, у.е.	50-60	60–70	70–80	80–90	90–100	100-110
Число магазинов

135. В результате выборочного обследования российских автомобилей, обслуживающихся в автосервисе по гарантии, по схеме собственно-случайной бесповторной выборки из 280 автомобилей были отобраны 60. Полученные данные о пробеге автомобилей с момента покупки до первого гарантийного ремонта представлены в таблице:

Пробег, тыс.км	Менее 1	1–2	2–3	3–4	4–5	5–6	Более 6
Число автомобилей

136. В филиале заочного вуза обучается 2000 студентов. Для изучения стажа работы студентов по специальности по схеме собственно случайной бесповторной выборки отобрано 100 студентов. Полученные данные о стаже работы студентов по специальности представлены в таблице:

Стаж работы по специаль-ности, лет	0-2	2–4	4–6	6–8	8–10	10–12	12-14
Количество студентов

137. Имеются выборочные данные о распределении вкладчиков по размеру вклада в Сбербанке города:

Размер вклада, тыс. руб.	20-40	40–60	60–80	80–100	100-120
Число вкладов

138. В результате выборочного обследования 100 предприятий региона из 500 по схеме собственно случайной бесповторной выборки получено следующее распределение снижения затрат на производство продукции в процентах к предыдущему году:

Процент снижения затрат (%)	4–6	6–8	8–10	10–12	12–14	14–16
Число предприятий

139. С целью изучения дневной выборки ткани (м) ткачихами комбината по схеме собственно-случайной бесповторной выборки было отобрано 100 ткачих из 2000. Результаты обследования представлены в таблице:

Дневная выработка, м	45-55	55–65	65–75	75–85	85–95	95–105	105-115
Число ткачих

140. Для планирования бюджета предприятия на следующий год было проведено выборочное обследование использования амортизационного фонда. По схеме собственно- случайной бесповторной выборки из 500 выплат были отобраны 100 и получены следующие данные:

Величина выплаты (руб.)	0-1000	1000–2000	2000–3000	3000–4000	4000–5000	5000–6000
Число выплат

Задачи № 141-160. Необходимо:

1. Вычислить условные средние и и построить эмпирические линии регрессии.

2. предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость:

а) найти уравнения прямых регрессии и построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии;

б) вычислить коэффициент корреляции на уровне значимости 0,05, оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и Y;

в) используя соответствующее уравнение регрессии, определить количество примесей в драгоценном изделии, если его стоимость составляет 25 тыс. руб.

141. Распределение 60 предприятий по затратам рабочего времени X (тыс. человеко-дней (чел. дн.)) и выпуску продукции Y (млн. руб.) представлены в таблице:

y x	30–40	40–50	50–60	60–70	70–80	Итого:
10–25
25–40
40–55
55–70
70–85
Итого:

142. Распределение 50 предприятий по стоимости основных производственных фондов X (млн. руб.) и стоимости произведенной продукции Y (млн. руб.) представлены в таблице:

y x	15–20	20–25	25–30	30–35	35–40	40–45	Итого:
20–30
30–40
40–50
50–60
60–70
Итого:

143. Распределение 80 литейных цехов машиностроительных заводов по степени компьютеризации процессов производства X (%) и производственным затратам Y (млн. руб.) представлено в таблице:

y x	5–6	6–7	7–8	8–9	9–10	Итого:
10–20
20–30
30–40
40–50
50–60
60–70
Итого:

144. Распределение 80 предприятий, выпускающих однотипную продукцию, по количеству реализованных товаров X (тыс. ед.) и цене на производимые товары Y (тыс. руб. за ед. продукции) представлено в таблице:

y x	10–20	20–30	30–40	40–50	50–60	Итого:
60–70
70–80
80–90
90–00
100–110
110–120
Итого:

145. Распределение 100 средних фермерских хозяйств по числу наемных рабочих X (чел.) и их средней месячной заработной плате на 1 человека Y (тыс. руб.) представлено в таблице:

y x	2 – 4	4 – 6	6 – 8	8 – 10	10 – 12	Итого
1–3
3–5
5–7
7–9
9–11
Итого

146. Распределение 100 новых видов тарифов на сотовую связь всех известных мобильных систем X (ден. ед.) и выручка от них Y (ден. ед.) приводится в таблице:

y x							Итого
Итого

147. Распределение 50 курящих мужчин по количеству выкуриваемых в день сигарет X (штук) и продолжительности жизни Y (лет) представлено в таблице:

y x	Менее 60	60–65	65–70	70 –75	Более 75	Итого
Менее 10
10–20
20–30
30–40
Более 40
Итого

148. В таблице приведено распределение 120 коров по дневному надою Y (в кг) и по жирности X (в %):

y x						Итого
3,3
3,5
3,7
3,9
4,1
Итого

149. Распределение 50 городов по численности населения X (тыс. чел.) и среднемесячному доходу на одного человека Y (тыс. руб.) представлено в таблице:

y x	2–3	3 – 4	4 – 5	5 – 6	6 – 7	7–8	Итого
0–50
50–100
100–150
150–200
200–250 Более 250
Итого

150. Распределение 50 предприятий пищевой промышленности по степени автоматизации производства Х (%) и росту производительности труда Y (%) представлено в таблице:

у х	5–9	9–13	13–17	17–21	21–25	Итого
15–21
21–27
27–33
33–39
39–45
45–51
Итого

151. Распределение 110 образцов полимерных композиционных материалов по содержанию в них нефтешламов Х (%) и водопоглощению Y (%) представлено в таблице:

у х	15–25	25–35	35–45	45–55	55–65	65–75	Итого
5–15
15–25
25–35
35–45
45–55
Итого

152. Имеются следующие выборочные данные о рыночной стоимости квартир Y (тыс.у.е.) и их общей площади Х (кв.м):

у х	13–18	18–23	23–28	28–33	33–38	Итого
33–49
49–65
65–81
81–97
97–113
Итого

153. Распределение 60 банков по величине процентной ставки Х (%) и размеру выданных кредитов Y (млн.руб.) представлено в таблице:

y х	2–5	5–8	8–11	11–14	14–17	Итого
11–13
13–15
15–17
17–19
19–21
Итого

154. Распределение 100 предприятий по количеству работников Y (чел.) и средней месячной надбавки к зарплате Х (%) представлено в таблице:

у х	10–20	20–30	30–40	40–50	50–60	Итого
7,5–12,5
12,5–17,5
17,5–22,5
22,5–27,5
27,5–32,5
32,5–37,5
Итого

155. Распределение 50 предприятий по стоимости основных производственных фондов Х (млн.руб.) и стоимости произведенной продукции Y (млн.руб.) представлены в таблице:

у х	15–25	25–35	35–45	45–55	55–65	65–75	Итого
5–15
15–25
25–35
35–45
45–55
Итого

156. Распределение 60 предприятий по объему инвестиций в развитие производства Х (млн.руб.) и получаемой за год прибыли Y (млн.руб.) представлены в таблице:

у х	0–0,8	0,8–1,6	1,6–2,4	2,4–3,2	3,2–4,0	Итого
2–4
4–6
6–8
8–10
10–12
Итого

157. Распределение 50 однотипных предприятий по основным фондам Х (млн.руб.) и себестоимости выпуска единицы продукции Y (млн.руб.) представлены в таблице:

у х						Итого
30–80
80–130
130–180
180–230
230–280
Итого

158. Распределение 50 городов по численности населения Х (тыс. чел.) и среднемесячному доходу на одного человека Y (тыс. руб.) представлено в таблице:

у х	3–4	4–5	5–6	6–7	7–8	Более 8	Итого
30–50
50–70
70–90
90–110
110–130
Более 130
Итого:

159. Распределение 70 банков по величине процентной ставки Х (%) и размеру выданных кредитов Y (млн.руб.) представлено в таблице:

y х	2–5	5–8	8–11	11–14	14–17	Итого
11–13
13–15
15–17
17–19
19–21
Итого

160. Распределение 110 предприятий по количеству работников Y (чел.) и средней месячной надбавки к зарплате Х (%) представлено в таблице:

у х	10–20	20–30	30–40	40–50	50–60	Итого
7,5–12,5
12,5–17,5
17,5–22,5
22,5–27,5
27,5–32,5
32,5–37,5
Итого

Контрольные вопросы к итоговой аттестации по предмету

1. Основные понятия теории вероятностей. Испытание и события. Классификация случайных событий.

2. Классическое определение вероятности события. Статическая вероятность.

3. Элементы комбинаторики. Основные формулы. Примеры.

4. Сумма событий. Теорема сложения вероятностей несовместимых событий. Полная группа событий. Противоположные события.

5. Произведение событий. Условная вероятность события. Теоремы умножения вероятностей.

6. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий. Вероятность появления хотя бы одного события.

7. Формула полной вероятности. Формула Бейеса.

8. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.

9. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Формула Пуассона.

10. Определение и виды случайных величин. Дискретная случайная величина. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.

11. Числовые характеристики случайной величины, их значение. Математическое ожидание дискретной случайной величины. Его свойства. Вероятностный смысл.

12. Дисперсия дискретной случайной величины: определение, свойства, формула для вычисления. Среднее квадратическое отклонение.

13. Законы распределения дискретной случайной величины.

14. Непрерывные случайные величины. Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины, ее свойства и график. Вероятность попадания случайных величин в заданный интервал.

15. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины, ее свойства и график, вероятностный смысл.

16. Числовые характеристики непрерывной случайной величины. Формулы для их вычисления.

17. Нормальное распределение Непрерывной случайной величины. Определение. Плотность вероятности, ее свойства и график.

18. Числовые характеристики нормального распределения.

19. Вероятность попадания нормально распределенной непрерывной случайной величины в заданный интервал. Вычисление вероятности заданного отклонения.

20. Генеральная и выборочная совокупность. Выборочный метод. Способы формирования выборки.

21. Вариационный ряд: дискретный и интервал. Полигон и гистограмма.

22. Эмпирическая функция распределения и ее свойства.

23. Числовые характеристики выборочной совокупности.

24. Эмпирические моменты высших порядков. Асимметрия и эксцесс.

25. Статистические оценки параметров распределения. Точечные оценки и ее свойства.

26. Оценки параметров распределения с помощью интервалов, понятие надежности интервала.

27. Статистическая проверка гипотез, виды ошибок.

28. Критерии согласия и их виды. Критическая область, критические точки, число степеней свободы.

29. Задачи корреляционного анализа. Парная линейная корреляция.

30. Коэффициент линейной корреляции и его свойства. Проверка на значимость.

31. Уравнение линейной регрессии. Правило нахождения коэффициента линейной регрессии, его связь с коэффициентом корреляции.

32. Дисперсионное отношение. Криволинейная корреляция.