Выборочное уравнение регрессии

Если изучаются две случайные величины и , заданные парами значений , причем такие, что связь между ними предположительно можно считать линейной, то задача в установлении формы связи решается путем составления линейных уравнений, называемых уравнениями линейной регрессии. Эти уравнения записывают в следующем виде:

- уравнение линейной регрессии на ,

- уравнение линейной регрессии на ,

где - среднее значение наблюдаемых значений с.в. ; - среднее значение наблюдаемых значений с.в. ; - коэффициент линейной регрессии на ; - коэффициент линейной регрессии на .

Приведенные величины вычисляются по следующим формулам:

; ; ;

; ,

где - среднее квадратическое отклонение с.в. ;

- среднее квадратическое отклонение с.в. ;

, .

Найденные уравнения регрессии преобразуют к виду

- уравнение линейной регрессии у на х,

- уравнение линейной регрессии х на у.

Коэффициент линейной регрессии у на х, то есть , показывает, на сколько единиц своего измерения в среднем изменится значение признака , если значение признака увеличить на единицу его измерения.

Коэффициент линейной регрессии х на у, то есть , показывает, на сколько единиц в среднем изменится значение признака при изменении признака на единицу его измерения.

Пример. Данные об объеме выпуска продукции в тыс. штук (Y) и стоимости основных промышленных фондов в млн. руб. (X) по 60 предприятиям сгруппированы в таблице. Вычислить коэффициенты линейной регрессии и составить уравнение Y на X.

x y						ny
0,1
0,3
0,5
0,7
0,9
nx

Решение. Найдем условные средние по формулам

и .

; ;

; ;

; ;

; ;

; .

Для удобства вычислений составим расчетные таблицы.

0,1		0,4	0,04		0,8
0,3		5,7	1,71	3,84	21,89
0,5			6,5	5,38	69,94
0,7		6,3	4,41	6,56	41,33
0,9		1,8	1,62		16,2
∑		27,2	14,28	-	150,16

				0,2	0,8
				0,3	9,9
				0,46	71,3
				0,56	39,2
				0,8	28,8
∑				-

Тогда

; ; ;

; ;

;

;

Тогда уравнение линейной регрессии на , будет иметь вид

,

или .

Это уравнение показывает, что при увеличении стоимости основных производственных фондов на 1 млн. руб., выпуск продукции увеличится в среднем на 0,08 тыс. штук.