Пример решения типовой задачи

Комитетом по физической культуре и спорту были проведены исследования спортсменов, занимающихся стрельбой. Было отобрано 200 стрелков из 4000 для определения среднего количества патронов, необходимых одному спортсмену для одной тренировки. Результаты обследования приведены в таблице

Число патронов (шт.)	Менее 200	200-300	300-400	400-500	500-600	600-700	Более
Число спортсменов (чел.)

1. Перейти к вариационному ряду, и построить полигон частот.

2. Найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию, исправленную выборочную дисперсию, исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение случайной величины Х.

3. Построить доверительный интервал для генеральной средней и генерального среднеквадратического отклонения с заданным уровнем доверительной вероятности γ=0,95.

4. Используя критерий Пирсона при уровне значимости a=0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина X– распределена по нормальному закону. Построить на одном графике гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

Решение.

1. Перейдем от данного интервального ряда к вариационному. Для этого найдем середину каждого интервала (сложим концы каждого интервала и поделим пополам):

Число патронов (шт.), хi
Число спортсменов (чел.), ni

Построим полигон частот для полученного вариационного ряда.

2. Находим выборочную среднюю по формуле:

.

Объем выборки n =200.

Таким образом, среднее число патронов необходимых одному спортсмену для одной тренировки равно 438 шт.

Находим выборочную дисперсию:

= 16656

Посчитаем выборочную дисперсию вторым способом:

, где и .

Среднеквадратическое отклонение:

Исправленную выборочную дисперсию посчитаем по формуле:

Исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение случайной величины Х:

3. Построить доверительный интервал для генеральной средней и генерального среднеквадратического отклонения с заданным уровнем доверительной вероятности γ=0,95. Тем самым, найдем границы, в которых с вероятностью 0,95 заключено среднее число патронов, необходимых для тренировки одного спортсмена.

Доверительный интервал для генеральной средней находим по формуле:

, где - математическое ожидание;

- выборочная средняя;

- объем выборки;

- при большом объеме выборки;

t - значение аргумента функции Лапласа, при котором она равна , то есть , где - заданная надежность. Аргумент t находится по таблицам значений функции Лапласа (приложение 2). По таблицам значений функции Лапласа находим: Ф(t)=0,95 .

;

Доверительный интервал для оценки среднеквадратического отклонения вычисляется по формуле

,

где - это исправленное среднеквадратическое отклонение;

- это табличное значение, которое зависит от объема выборки и заданной надежности , то есть (приложение 4).

Найдем значение q:

Тогда доверительный интервал для оценки среднеквадратического отклонения будет равен:

4. Используя критерий Пирсона при уровне значимости a=0,05 проверим гипотезу о том, что случайная величина X– распределена по нормальному закону.

Примечание: В качестве дисперсии нормального закона распределения следует взять исправленную выборочную дисперсию. Но т.к. количество наблюдений – 200 достаточно велико, то подойдет и “обычная” .

x i	ni
		-288	-2,23	0,0332	5,144974	5,1
		-188	-1,46	0,1374	21,29275	21,3
		-88	-0,68	0,3166	49,06321	49,1
			0,09	0,3973	61,56922	61,6
			0,87	0,2732	42,33755	42,3
			1,64	0,1040	16,11678	16,1
			2,42	0,0213	3,300841	3,3
						198,8

Составим расчетную таблицу для вычисления теоретических частот пользуюсь указанной схемой.

Для этого найдем величину .(h -длина интервала или шаг).

Из первого пункта данной задачи известно, что .

Составим таблицу для подсчета

	5,1	1,21	0,237255
	21,3	1,69	0,079343
	49,1	62,41	1,271079
	61,6	11,56	0,187662
	42,3	127,69	3,018676
	16,1	1,21	0,075155
	3,3	22,09	6,693939
	198,8		11,56311

Итого, значение статистики .

Определим количество степеней свободы по формуле: .

m –число интервалов (m =7), r – число параметров закона распределения (в нормальном распределении r = 2)

Т.е. k = 7-2-1=4.

Соответствующее критическое значение статистики

Поскольку , гипотеза о нормальном распределении с параметрами N(438; 129,058) не согласуется с опытными данными.

Ниже показана кривая эмпирического (сплошная линия) и теоретического (пунктирная линия) распределений

Вывод. Сопоставив обе кривых видим, что наилучшее соответствие эмпирических данных нормальному распределению наблюдается на первом, втором, и шестом интервалах, что подтверждается таблицей. А вот на участке от 500 до 600 патронов отклонение очень большое – это видно из графика. Оно и оказало “фатальное” влияние на критерий согласия – это видно из таблицы.

Контрольный тест после изучения разделов XI, XII «Статистическая проверка статистических гипотез»

1. Выборочное среднее равно 19,9. Гипотеза H₀ для математического ожидания М

1). ; 2). ; 3). ; 4). ; 5). .

2. Относительная частота равна 0,25. Интервальная оценка вероятности может иметь вид:

1). (0; 1); 2). (0; 0,5); 3). (0,25; 0,5).

3. Статистическим аналогом математического ожидания является:

1). Абсолютная частота события;

2). Относительная частота события;

3). Выборочное среднее значение случайной величины.

4. Выборочное среднее равно 19. Интервальная оценка для математического ожидания М может иметь вид

1). (18; 20); 2). (17, 22); 3). (18; 21).

5. Совокупность наблюдений, отобранных случайным образом из генеральной совокупности, называется

1).	Репрезентативной	2).	Вариантой
3).	Выборкой	4).	Частотой

6. Объем выборки 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 6 равен …

7. Математическое ожидание оценки параметра равно оцениваемому параметру. Оценка является

1)	Смещенной	2)	Состоятельной
3)	Несмещенной	4)	Эффективной

8. Оценка параметра сходится по вероятности к оцениваемому параметру. Оценка является

1)	Смещенной	2)	Состоятельной
3)	Несмещенной	4)	Эффективной

9. Произведено четыре измерения (без систематических ошибок) некоторой случайной величины (в мм): 2, 3, 8, 8. Тогда несмещенная оценка математического ожидания равна …

1)

2)

3)

5,5

4)

5,25

10. Выборочная дисперсия вариационного ряда равна 3,5. Объем выборки равен 50. Исправленная выборочная дисперсия равна …

1)	3,43	2)	3,57	3)	0,07	4)	3,5

11. Дана выборка объема n. Если каждый элемент выборки увеличить в 5 раз, то выборочное среднее …

1)	Не изменится	2)	Увеличится в 25 раз
3)	Уменьшится в 5 раз	4)	Увеличится в 5 раз

12. Дан вариационный ряд

варианта
частота

Величина равна …

13. Дан вариационный ряд

варианта
частота

Выборочная дисперсия равна …

1)

2)

1,8

3)

0,84

4)

0,76

14. Дан вариационный ряд

варианта
частота

Исправленная выборочная дисперсия равна …

1)

2)

1,8

3)

0,84

4)

0,76

15. Относительная частота равна 0,25. Гипотеза H₀ для вероятности P

16. 1). 2). ; 3). ; 4). ; 5). .

17. Множеством значений системы двух случайных величин является:

а) промежуток на числовой оси

б) часть координатной плоскости

в) числовая последовательность

18. Статистическим аналогом закона распределения системы двух дискретных случайных величин является

1). Гистограмма;

2). Дисперсия;

3). Корреляционная таблица;

4). Функция распределения вероятности.

19. Какие параметры имеет плотность равномерного закона?

1). Дисперсия; 2). Математическое ожидание;

3). Границы множества значений; 4). Интенсивность потока событий.

20. Дан интервальный вариационный ряд

варианта	1-3	3-5	5-7	7-9
частота

Выборочная средняя равна…

21. Статистическим аналогом вероятности события является

1). Абсолютная частота события;

2). Относительная частота события;

3). выборочное среднее значение индикатора события.

22. Сумма всех относительных частот дискретного вариационного ряда равна:

1). Значению функции распределения в точке х =1;

2). Вероятности достоверного события;

3). выборочному среднему значению случайной величины.