Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона

В исследованиях часто возникает необходимость знать закон распределения генеральной совокупности. С этой целью производят наблюдения и получают опытное (или эмпирическое) распределение случайной величины в виде вариационного ряда.

Поставленная задача сводится к оценке закона распределения признака в генеральной совокупности на основе выборочных данных. Для точной формулировки проблемы дадим основные определения.

Определение. Распределение признака в выборке называется эмпирическим распределением.

Определение. Распределение признака в генеральной совокупности называется теоретическим распределением.

Определение. Критерием согласия называется критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения. Это численная мера расхождения между эмпирическим и теоретическим распределением.

Основная задача. Дано эмпирическое распределение (выборка). Сделать предположение (выдвинуть гипотезу) о виде теоретического распределения и проверить выдвинутую гипотезу на заданном уровне значимости a.

Решение основной задачи состоит из двух частей:

1. Выдвижение гипотезы.

2. Проверка гипотезы на заданном уровне значимости.

Рассмотрим подробно эти части.

1. Выбор гипотезы о виде теоретического распределения удобно делать с помощью полигонов или гистограмм частот. Сравнивают эмпирический полигон (или гистограмму) с известными законами распределения и выбирают наиболее подходящий.

Основанием для выдвижения гипотезы о теоретическом распределении могут быть теоретические предпосылки о характере изменения признака. На практике чаще всего приходится встречаться с нормальным распределением, поэтому в наших задачах требуется проверить только гипотезу о нормальном распределении.

2. Проверка гипотезы о теоретическом распределении отвечает на вопрос: можно ли считать расхождение между предполагаемыми теоретическим и эмпирическим распределениями случайным, несущественным, объясняемым случайностью попадания в выборку тех или иных объектов, или же это расхождение говорит о существенном расхождении между распределениями. Для проверки существуют различные методы. Мы же будем рассматривать один критерии согласия – χ² (хи-квадрат) или его еще называют критерий согласия Пирсона.

Замечание. Критерий Пирсона, как и любой другой критерий, не доказывает справедливость гипотезы, а лишь устанавливает на принятом уровне значимости ее согласие или несогласие с данными наблюдений.