Упражнения с решениями. Пример 1. Исследовать на монотонность функцию

Пример 1. Исследовать на монотонность функцию .

Решение. Имеем . Справедливо неравенство , причем знак равенства имеет место лишь в одной точке . Значит, функция возрастает на всей числовой прямой.

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. 1) Функция определена при всех .

2) .

3) Из уравнения находим .

4) существует при всех .

5) Отметим точки на координатной прямой.

6) . Отметим знаки производной на полученных промежутках.

7) При переходе через точку слева направо производная меняет знак с «+» на «-», значит, - точка максимума; при переходе через точку производная меняет знак с «-» на «+», значит, - точка минимума. В точке имеем , в точке имеем .

Пример 3. Построить график функции .

Решение. 1) Область определения – множество всех действительных чисел.

2) .

3) Решая уравнение , находим стационарные точки и .

4) Производная положительна на интервале , следовательно, на этом интервале функция возрастает. На промежутках и производная отрицательна, следовательно, на этих промежутках функция убывает.

5) Стационарная точка является точкой минимума, так как при переходе через эту точку производная меняет знак с «-» на «+»; . Точка – точка максимума, так как при переходе через нее производная меняет знак с «+» на «-»; .

Составим таблицу:

Таблица 1

		-1
	-		+		-
	убывает	-0,5	возрастает		убывает

Используя результаты исследования, строим график функции (рис. 6).

Рис. 6