Теоретические сведения. Если функция y=f(x) принимает каждое свое значение только при одном значении x, то эту функцию называют обратимой

Если функция y=f(x) принимает каждое свое значение только при одном значении x, то эту функцию называют обратимой.

Пусть функция y=f(x) монотонна в своей области определения D(f). Тогда каждому значению соответствует единственное значение и обратно: каждое значение соответствует единственному . Значит, в этом случае можно построить новую функцию, определенную на E(f) и такую, что каждому ставится в соответствие , удовлетворяющее уравнению y=f(x). Эта новая функция называется обратной по отношению к функции y=f(x).

Для нахождения функции, обратной данной y=f(x), надо выразить х через у: x=g (у), а затем записать полученную функцию в общепринятой форме y = g(x).

Отметим, что если функции y=f(х) и y=g(x) являются взаимно обратными, то область определения функции f совпадает с множеством значений функции g и, наоборот, область опреде­ления функции g совпадает с множеством значений функции f, т. e. и .

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой у=х (рис. 1).

Рис. 1. Графики взаимно обратных функций

Рассмотрим, например, функцию , заданную на промежутке . На этом промежутке функция убывает и принимает все значения из множества [0; +∞). Следовательно, для данной функции существует обратная. Из уравнения находим или ; так как переменная х может принимать только неположительные значения, то искомая обратная функция имеет вид . Поменяв обозначения х на у и у на х, получим формулу , где , с помощью которой и задается обратная функция.

Если же рассматривать функцию , заданную на промежутке [0; +∞), то обратной для нее служит функция , где . На рисунке 2 изображены график функции при и график обратной ей функции.

Рис. 2. График функции и обратной ей функции