Нормальный закон распределения. Случайная величина Х распределена по нормальному закону, если она определена

Случайная величина Х распределена по нормальному закону, если она определена

на всей числовой оси и имеет плотность

,

где - математическое ожидание; - среднее квадратическое отклонение.

Нормальный закон является наиболее распространенным законом распределения. Ему подчиняются практически все случайные величины, значения которых получаются непосредственным измерением или какими-нибудь линейными преобразованиями измеренных величин.

График нормальной плотности называют нормальной кривой или кривой Гаусса.

Рис. 1. Кривая Гаусса

Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал находится по формуле.

, (1)

где - функция Лапласа.

Значение функции Лапласа для различных значений можно найти в учебнике или задачнике Гмурмана В.Е.

Пример 1. Станок-автомат сверлит отверстия в центре детали, имеющей форму прямоугольной пластины. Отклонения отверстий от центра детали распределены по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 0, и средними квадратическими отклонениями по длине детали σ_х = 2 мм, по ширине детали σ_у =1 мм. Деталь считается стандартной, если отклонения отверстия от центра не превышают по длине и ширине 3 мм. Найти вероятность того, что две случайно взятые детали стандартны.

Решение. Введем обозначения:

Случайная величина Х - отклонение отверстия от центра детали по длине,

Случайная величина Y - отклонение отверстия от центра детали по ширине.

Тогда

M(X) = M(Y) = 0; s(X) = 2; s(Y) = 1.

Пусть событие А – деталь по ширине стандартна, В - деталь по длине стандартна. Тогда

P(A) = P(|X| < 3), P(B) = P(|Y| < 3).

Так как отклонения по длине и ширине независимые случайные величины, то вероятность того, что деталь стандартна по длине и ширине

P(A∙В) = Р(А)∙Р(В) = P(|X|<3) ∙ P(|Y|<3).

Используем формулу для вероятности отклонения нормальной случайной величины от математического ожидания а

,

получим при a = 0, ε =3 и σ_х = 2

P(|X|<3) = 2F(3/2) = 2F(1,5) = 2´0,4332 = 0,8664,

при a = 0, ε =3 и σ_у =1

P(|Y|<3) = 2F(3) = 2´0,4986 = 0,9972.

(Значения функции Лапласа F(х) приведены в приложении в учебнике Гмурмана)

P(A∙В) = 0,8664 ´ 0,9972 = 0,8839.

Так как по условию нужно найти вероятность того, что две детали стандартны, а стандартность каждой детали событие независимое, то искомая вероятность Р

Р = P²(AB) = 0,8839² = 0,7813 = 0,78.