Непрерывные случайные величины. Рассмотрим теперь случайные величины, значения которых занимают сплошь некоторый интервал, т.е

Литература: Гмурман. Ч. 2. Гл. 10 - 13.

Рассмотрим теперь случайные величины, значения которых занимают сплошь некоторый интервал, т.е. такие величины, множество значений которых не составляет числовой последовательности (несчетные множества). Примерами таких величин могут быть масса тела, прочность, длина и т.п.

Определение 1. Случайная величина называется непрерывной (НСВ), если множество ее допустимых значений занимает сплошь некоторый промежуток [ a; b), функция распределения F(x) непрерывна на всей оси и дифференцируема на (a; b).

Основное свойство непрерывной величины: вероятность того, что непрерывная величина приняла какое-либо из допустимых значений, равна нулю, т.е. Р(Х=х)=0. Замечание 1. Так как множество значений непрерывной случайной величины не является последовательностью и все соответствующие вероятности нули, то закон ее распределения не может быть задан таблицей.

Замечание 2. Так как Р(Х=х)=0, то для непрерывных случайных величин нет разницы между строгими и нестрогими неравенствами, т. е.

В качестве примера на рис.2 приведен график функции распределения непрерывной случайной величины.

Рис.2

Функция распределения определена на всей оси, поэтому она задается системой

где F*(x) - часть функции F(x) на промежутке [a, b). Так как функция распределения непрерывна, то в любой точке предел этой функции слева равен пределу справа, в том числе и в точках a и b, т.е.

Поэтому справедлива система

(1)

Пример 1. Случайная величина Х непрерывна и определена на [1; 2) и имеет функцию распределения

Найти А и В. Построить график функции распределения.

Решение. На основании (1) имеем

или

Решая последнюю систему, получим А=0,5 и В= -0,5. Запишем нашу функцию и построим её график (рис. 3).

Рис. 3.

Как уже говорилось, отдельным значениям непрерывной величины соответствует нулевая вероятность, но вероятность того, что значение случайной величины лежит в некотором промежутке может быть и не равна нулю. Поэтому можно ввести (по аналогии с плотностью массы) среднюю плотность вероятности на промежутке, как отношение вероятности того, что значение случайной величины принадлежит этому промежутку, к его длине. Например, для промежутка [x, x+Dx) средняя плотность равна

Предел средней плотности является очень важной характеристикой закона распределения непрерывной величины.

Определение 2. Плотностью вероятности (или просто плотностью) случайной величины в точке х называется предел средней плотности на промежутке, содержащем точку х, при условии, что длина промежутка ∆ х стремиться к нулю, т.е.

где f(x) - плотность в точке х, называемая также дифференциальной функцией распределения или дифференциальным законом распределения случайной величины Х.

Укажем некоторые важные свойства плотности:

1. f(x) ³ 0.

2. т.е. плотность нормирована на множестве допустимых значений.

3. f(x) является производной функции распределения, т.е.

4. F(x) - первообразная f(x), поэтому

(2)

Замечание 3. Вообще говоря, плотность определена на множестве значений непрерывной случайной величины (a,b). Но ее можно доопределить на всю числовую ось, считая что за пределами промежутка (a, b) f(x) = 0, т.е.

В точках x = a и x = b функция f(x) может иметь разрыв.

Пример 2. Случайная величина Х имеет закон распределения, заданный функцией распределения

Найти плотность.