Промежуточные значения непрерывных функций

Теорема 5 (Больцано-Коши). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и f(a) = A, f(b) = B, то для любого C,заключенного между A и B, существует такая точка ξ ∈ [a; b], что f(ξ) = C.Доказательство. Пусть для определенности f(a) = A < B = f(b) и A < C < B. Разделим отрезок [a; b] точкой x0 надва равных по длине отрезка; тогда либо f(x₀) = C и, значит, искомая точка ξ = x₀ найдена, либо f(x₀) C и тогдана концах одного из полученных отрезков функция f(x) принимает значения, лежащие по разные стороны от числа C,точнее - на левом конце значение меньшее C, на правом - большее.Обозначим этот отрезок [a₁; b₁] и разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. В результате либо черезконечное число шагов придем к искомой точке ξ, в которой f(ξ) = C, либо получим последовательность вложенныхотрезков [a_n, b_n], по длине стремящихся к нулю и таких, чтоf(a_n) < C < f(b_n). (1)

Пусть ξ - общая точка всех отрезков [an; bn], n = 1, 2,... Как известно ξ = _n= b_n. Поэтому, в силу непрерывности функции можем записать f(ξ) = _n)= (b_n)

Тогда из (1) _n) C (b_n).т.е. f(ξ) = C.

Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разного знака, то на этом отрезке существует хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль.

Следствие 2. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке

[a; b] и M =

Тогда функция f(x)принимает все значения из отрезка [m;M] и только эти значения.

Доказательство. Заметим, что если

то m f(x) M, и согласно теореме 4, существуют такие точки α ∈ [a; b] и β ∈ [a; b], что f(α) = m, f(β) = M. Следовательно, следствие 2 непосредственно вытекает изтеоремы 5, примененной к отрезку [α; β], если α β, или, соответственно, к отрезку [β; α], если β < α.Таким образом, множество всех значений функции, заданной и непрерывной на некотором отрезке, представляетсобой также отрезок.