Огранниченность ф-циинепрер. На отрезке

Определение 1. Функция f(x) непрерывная во всех точках некоторого множества X, называется непрерывной на этоммножестве.Если X = [a; b], то для непрерывности функции на X требуется, чтобы f(x) была непрерывна во всех внутреннихточках отрезка, непрерывна справа на левом его конце, т.е. в точке a, и непрерывна слева на правом его конце, т.е. вточке b.

Теорема 4 (Вейерштрасса). Всякая непрерывная на отрезке функция ограничена и достигает на нем своих верхнейи нижней граней.

Доказательство. Пусть функция f(x)

на отрезке [a; b] и пусть M =M как и всякая верхняягрань непустого множества чисел, может быть либо конечной, либо бесконечной, равной + . Покажем, что M < + и что существует такая точка x0 ∈ [a; b], что f(x0) = M.Выберем какую-либо последовательность таких чисел a_n, n = 1, 2,..., что a_n = M, an< M, n = 1, 2,.. (1) Согласно определению верней грани функции для каждого a_n, n = 1, 2,... существует такая точка x_n∈ [a; b], что f(x_n) >a_n, n = 1, 2,... (2). С другой стороны, поскольку M верхняя грань функции f(x), для всех точек x∈ [a; b] справедливо неравенство f(x) M.(3) Последовательность {x_n} ограничена, так как a x_n b, n = 1, 2,..., поэтому по теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся последовательность {x_nk}, и пусть x_nk=x₀. Так как a x_nk b, то a x₀ b. Из неравенств (2) и (3) следует, что a_nk< f(x_nk) M, k = 1, 2,... (4). С другой стороны, в силу непрерывности функции f(x) на отрезке [a; b] она непрерывна в точке x₀ этого отрезка и,

следовательно f(x_nk)=f(x₀).т.е. имеем M = f(x₀).

Таким образом, доказано, что верхняя грань M функции f(x) совпадает со значением функции в точке x₀ и, следовательно, конечна. Тем самым функция f(x) ограничена сверху и ее верхняя грань достигается в точке x0 ∈ [a; b].

Аналогично доказывается, что непрерывная на отрезке функция ограничена снизу и достигает на нем своей нижней грани.