Непрерывность обратной функции на интервале

Определение 2. Функция f (x), определенная на числовом множестве X, называется строго возрастающей (строго

убывающей), если для любых двух чисел x ₁ ∈ X, x ₂ ∈ X таких, что

(x ₁ < x ₂, выполняется неравенство f (x ₁) < f (x ₂)

f (x ₁) > f (x ₂)

Определение 3. Функция, строго возрастающая или строго убывающая, называется строго монотонной.

Лемма 1. Пусть функция f(x) строго возрастает (убывает) на некотором множестве X ⊂ R и пусть Y - множество ее значений. Тогда обратная функция f ⁻¹ является однозначной строго возрастающей (убывающей) функцией на множестве Y.

Теорема 7. Пусть функция f(x) определена, строго возрастает (убывает) и непрерывна на интервале (a; b) (конечном

или бесконечном) и пусть c =

Тогда обратная функция f ⁻¹ определена, однозначна, строго

возрастает (убывает) и непрерывна на интервале (конечном или бесконечном) с концами c и d.

Доказательство. Пусть для определенности функция f (x) строго возрастает в интервале (a; b). Покажем, что в этом случае множеством ее значений является интервал (c; d). Действительно, согласно теореме о пределах монотонных функций, имеем c = inf f (x), d = sup f (x) и, следовательно, для любого x ∈ (a; b) справедливо неравенство c ≤f (x) ≤ d.

Более того, для всех x ∈ (a; b) выполняются еще неравенства f (x) ̸ = c, f (x) ̸ = d. В самом деле, если бы, например, существовало такое x 0, что a < x 0 < b и f (x 0) = c, то при a < x < x 0 выполнялось бы неравенство f (x) < f (x 0) = c, что противоречило бы тому, что c = inf f (x). Итак, для всех x ∈ (a; b) выполняются неравенства c < f (x) < d. С другой стороны, c = inf f (x), d = sup f (x), поэтому для любого y, c < y < d, существуют такие x 1 ∈ (a; b) и x 2 ∈ (a; b), что y 1 = f (x 1) и y 2 = f (x 2) удовлетворяют неравенствам c < y 1 < y < y 2 < d. Отсюда следует, что x 1 < x 2, и поскольку f (x 1) = y 1 и f (x 2) = y 2, по теореме Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывных функций, существует такая точка x ∈ [ x 1; x 2], что f (x) = y (случай x 1 > x 2 невозможен, так как тогда в силу возрастания функции f (x)

выполнялось бы неравенство y 1 > y 2). Таким образом, для любой точки y ∈ (c; d) существует такая точка x ∈ (a; b), что

f (x) = y.

Тем самым доказано, что множеством значений функции f (x) является интервал (c; d). То, что функция f ^{− 1} одно-

значна и строго монотонно возрастает в интервале (c; d), следует из леммы.