Предел.отнош. Синуса. К. аргумент

Докажем, что Так как f(x) = является четной функцией, то рассмотрим ее только на интервале (0; )Возьмем дугу AM единичного круга, соответствующую углу, радианная мера которого равна x. Площадь сектораOAM заключена между площадями треугольников OMA и OTA:S OMA <Sсек< S4OAT ⇔ · |OA| · |PM| < · |OA|²· x < · |OA| · |AT|. Так как |OA| = 1, |MP| = sin x, |AT| = tg x, то sinx<x<tgx⇔ 1 < ·< ⇔cosx< < 1. В силу четности функции cosx и последнее двойное неравенство справедливо и для интервала (- ; 0). Таким образом, для любого x ∈(- ; 0)∪(0; )выполняется неравенство cosx< < 1Переходя к пределу при

x → 0 получим

т.е. =1 – который называют первым замечательным пределом.