Непрерывность обратной функции на отрезке

Определение 2. Функция f (x), определенная на числовом множестве X, называется строго возрастающей (строго

убывающей), если для любых двух чисел x ₁ ∈ X, x ₂ ∈ X таких, что

(x ₁ < x ₂, выполняется неравенство f (x ₁) < f (x ₂)

f (x ₁) > f (x ₂)

Определение 3. Функция, строго возрастающая или строго убывающая, называется строго монотонной.

Лемма 1. Пусть функция f(x) строго возрастает (убывает) на некотором множестве X ⊂ R и пусть Y - множество ее значений. Тогда обратная функция f ⁻¹ является однозначной строго возрастающей (убывающей) функциейна множестве Y.

Теорема 6. Пусть функция f(x) определена, строго возрастает (убывает) и непрерывна на отрезке [a; b]; тогда

обратная функция f ⁻¹ определена, однозначна, строго возрастает (убывает) и непрерывна на отрезке с концами вточкахf(a), f(b).

Доказательство. Пусть f (x) строго возрастающая функция и c = f (a), d = f (b). Покажем, что областью определения обратной функции f ^{− 1} является отрезок [ c; d ]. В самом деле, из возрастания функции f (x) следует, что f (a) ≤ f (x) ≤ f (b), т.е. что f (x) ∈ [ c; d ], ∀ x∈ [ a; b ]. С другой стороны, каково бы ни было y ∈ [ c; d ], согласно теореме 5, существует такая точка x ∈ [ a; b ], что f (x) = y. Таким образом, все значения заданной функции f (x) лежат на

отрезке [ c; d ], и каждая точка этого отрезка является значением функции f (x) в некоторой точке. Это и означает, что отрезок [ c; d ] является множеством значений функции f (x).

В силу леммы 1, функция f ^{− 1} однозначна и строго возрастает на отрезке [ c; d ].

Покажем, что функция f ^{− 1} непрерывна на [ c; d ]. Пусть y ₀ ∈ [ c; d ], x ₀ = f ^{− 1} (y 0), и c < y 0 < d, т.е. y 0 – внутренняяточка отрезка [ c; d ]. Тогда, в силу строгого возрастания функции f ^{− 1}, и a < x 0 < b. Зафиксируем некоторое ε > 0. Неограничивая общности рассуждений, можно считать, что ε таково, что a ≤ x 0 − ε < x 0 < x 0 + ε ≤ b. (2.8)

Пусть y ₁ = f (x 0 − ε), y ₂ = f (x 0 + ε). Тогда из условия (2.8), в силу строгого возрастания функции f (x), следует,что c ≤ y 1 < y 0 < y 2 ≤ d. Возьмем δ > 0 так, чтобы y 1 ≤ y 0 − δ < y 0 + δ ≤ y 2. Если теперь выбрать y так, что y 0 − δ < y < y 0 + δ, то, тем более y 1 < y < y 2, и следовательно, в силу строгого возрастания функции f ^{− 1}, справедливонеравенство

x 0 − ε = f ^{− 1} (y ₁) < f ^{− 1} (y) < f ^{− 1} (y 2) = x 0 + ε.

Таким образом, для ε > 0 указано такое δ > 0, что для всех y ∈ (y 0 − δ; y 0 + δ) выполняется неравенство

|f ^{− 1} (y) − f ^{− 1} (y 0) | < ε,

т.е. функция f ^{− 1} непрерывна в точке y 0. Если теперь y 0 = c или y 0 = d, то аналогичными рассуждениями доказывается,

что функция f ^{− 1} непрерывна справа в точке c и непрерывна слева в точке d.