Число е

Пример 1. Доказать справедливость неравенства (неравенство Я. Бернулли)

Решение. Докажем, основываясь на методе математической индукции.

1. При n = 1 утверждение, очевидно, справедливо.2. Предположим, что оно справедливо при n = k, т.е. верно (1 + α)^k> 1 + kα.

3. Докажем, что оно справедливо при n = k+1.Действительно Согласно методу математической индукции заключаем, что утверждение справедливо ∀n ∈ N.Рассмотрим последовательность {x_n}, где Покажем, что последовательность {y_n}, где убывающая. Действительно ∀n 2, находим

Очевидно, что все члены последова-тельности {y_n} имеют положительные члены, а следова-тельно, согласно теоремеВейерштрасса, она имеет предел. Тогда

Определение 1. =е

20. Бесконечно малые и большие функции. Символы ~, о, О. Сравнение функций

Определение 1. Функция f(x) называется бесконечно малой функцией (или бесконечно малой) при x → x₀ если =0 Определение 2. Функция f(x) называется бесконечно большой функцией (или бесконечно большой) при x → x₀ если = Теорема 13. Если функция f(x) при x → x₀ – бесконечно большая, то функция при x → x₀ – бесконечно малая. Если функция f(x) при x → x₀ – бесконечно малая, то функция при x → x₀ – бесконечно большая. ]

Свойства бесконечно малых функций.

Теорема 14. Конечная сумма бесконечно малых функций при x → x₀, есть функция, бесконечно малая при x → x₀. Доказательство. Если α_i(x), i = 1, n – бесконечно малые функции при x → x₀, то =0,i = 1, n

Теорема 15. Произведение бесконечно малой функции при x → x₀ и функции, ограниченной в (x₀), есть бесконечно малая функция при x → x₀. Следствие1. Произведением некоторого числа и бесконечно малой функции при x → x₀ есть бесконечно малаяфункция при x → x₀. Теорема 16. Частное от деления бесконечно малой функции α(x) при x → x₀ на (x), такую, что есть бесконечно малая функция при x → x₀.

Доказательство. Так как α(x) – бесконечно малая функция, то =0Тогда

где = C 0.