Непрерывность ф-ции в точке

Интуитивное представление о непрерывной функции обычно связывают с такой функцией, график которой — непрерывная линия. Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если для любого заданного числа ε > 0 можно найти такое число δ = δ(ε, x₀) > 0, что для всех x, для которых |x − x₀| < δ, будет выполняться неравенство|f(x) − f(x₀)| < ε, или:∀ε > 0 ∃δ = δ(ε, x0) > 0:∀x |x − x₀| < δ ⇒ |f(x) − f(x₀)| < ε.

Определение 2. Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀ если для любой числовой последовательности {x_n}такой, что x_n=x₀ будет f(x_n) = f(x₀). Так как x − x₀ = x – приращение аргумента, а f(x) − f(x₀) = y – приращение функции в точке x₀, то:

Определение 3. Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если бесконечно малому приращению аргумента x соответствует бесконечно малое приращение функции y, т.е. y= 0. В некоторых случаях приходится пользоваться понятием односторонней непрерывности. Определение 4. Функция f(x), определенная в некоторой левой (правой) окрестности точки x0 называется непрерывной слева (справа) в точке x₀, если существует предел слева (справа) функции y = f(x) и он равен f(x₀). Другими словами:

f(x) непрерывна справа в точке x0 ⇒∃ f(x) = f(x0);f(x) непрерывна слева в точке x0 ⇒ ∃ f(x) = f(x0). Из определения односторонней непрерывности в точке x₀ и свойств предела функции следует:

Теорема 1. Функция f(x), определенная в некоторой δ-окрестности точки x₀, непрерывна в точке x₀ тогда и только тогда, когда она непрерывна в этой точке слева и справа.