Равномерная непрерывность функций

Определение 1. Функция f(x) называется равномерно-непрерывной на множестве X ⊂ R, если для любого ε > 0найдется δ = δ(ε) > 0, такое, что для любых x₁, x₂∈ X, удовлетворяющих условию |x₁−x₂| < δ, выполняется неравенство|f(x₁) − f(x₂)| < ε.

Если f(x) равномерно-непрерывна на множестве X, то она непрерывна на множестве X. Чтобы в этом убедиться,достаточно положить x₁ = x, x₂ = x₀. Тогда из определения равномерной непрерывности функции следует определениенепрерывной функции в точке x₀. Обратное утверждение не всегда справедливо.

Теорема 8 (Кантора). Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на этом отрезке.Доказательство. Пусть f: X → R, и f ∈ C([a; b]), где X = [a; b]. Поскольку f(x) непрерывна в любой точке x ∈ X, топо ε > 0 можно найти такую δ-окрестность V_δ(x) точки x, что колебание ω(f, V_δ(x)), где

функции f(x) окажется меньше ε.Для каждой точки x ∈ X построим окрестность V_δ(x) обладающую этим свойством. Величина δ при этом может меняться от точки к точке, т.е. δ = δ(x). Интервалы V_δ/2(x), x ∈ X в совокупности образуют покрытие отрезкаX = [a; b], из которого по лемме о конечном покрытии можно выделить конечное подпокрытиеV_δ/2(x1),..., V_δ/2(xn).

Пустьδ = min{ δ(x₁),..., δ(x_n)}. Покажем, что для любых точек x’, x’’∈ X таких, что |x’− x’’| < δ выполнено|f(x’) − f(x’’)| < ε. Действительно, поскольку система интервалов V_δ/2(x₁),..., V_δ/2(x_n) покрывает X, то найдется интервал V_δ/2(x_i) этой системы, который содержит точку x’ т.е. |x’− x_i| < δ(x_i). Но в таком случае |x’’− x_i| |x’− x’’| + |x’− x_i| <δ + δ(x_i) < δ(x_i) + δ(x_i) = δ(x_i). Следовательно x’, x’’∈V_δ(xi)(x_i) и потому |f(x’) − f(x’’)| ω(f, V_δ(xi)(x_i))< ε.