Список задач. Задача 1.Секретарю директора предприятия поступает в среднем 1,2 телефонных вызовов в минуту

Задача 1. Секретарю директора предприятия поступает в среднем 1,2 телефонных вызовов в минуту. Средняя продолжительность разговора составляет 3 минуты. Найти основные характеристики СМО и оценить эффективность её работы.

Задача 2. Рассматривается круглосуточная работа автосервиса с одним каналом обслуживания (одной бригадой проведения осмотра). На осмотр и выявление поступает в среднем 25 машин в сутки. Потоки заявок и обслуживаний – простейшие. Если машина, прибывшая в пункт осмотра, не застает ни одного канала свободным, она покидает пункт осмотра необслуженной. Определить основные характеристики функционирования СМО и оценить эффективность её работы.

Задача 3. На станции метро 5 кассовых аппаратов. Из наблюдений установили, что к этим пяти аппаратам подходят в среднем 60 человек в минуту. Время обслуживания считается распределенным по показательному закону, со средним временем обслужи­вания 10 сек. Определить основные характеристики функционирования СМО и оценить эффективность её работы.

Задача 4. Справочное бюро имеет два телефона, по которым дает справки о наличии лекарств в аптеках. В среднем за 1 мин поступает 4 запроса, время обслуживания каждого требования в среднем составляет 50 с. Определить важнейшие характеристики СМО и оценить эффективность работы СМО.

Задача 5. В таксопарке 3 диспетчера принимают заказы на вызов машин и обеспечивают своевременное обслуживание клиентов. В среднем за каждый час поступает 120 заявок, длительность регистрации заявки равна в среднем 1 мин. Определить важнейшие параметры данной СМО и оценить эффективность её работы.

Задача 6. В билетной кассе работают 3 кассира, каждый из которых может обслужить 3 пассажиров за 10 мин. Поток пассажиров простейший с интенсивностью 15 чел /ч. Время обслуживания подчинено показательному закону распределения. Определить основные характеристики функционирования СМО и оценить эффективность её работы.

Задача 7. Входной поток клиентов в парикмахерскую подчиняется закону Пуассона, его интенсивность – 12 чел /ч. Обслуживают посетителей 3 мастера, в среднем за 1 ч мастер обслуживает 2 чел., максимальная очередь – 5 чел. Рассчитать важнейшие характеристики СМО и оценить эффективность её работы.

Задача 8. Фирма «Уют» предлагает своим клиентам помощь в дизайне дома или офиса. В нормальном режиме за каждый час прибывает в среднем 2,5 клиента. Единственный консультант по дизайну отвечает на вопросы клиента и дает необходимые рекомендации. Он тратит на каждого посетителя в среднем 10 мин. Предполагая пуассоновское распределение времени прибытия и экспоненциальное распределение продолжительности обслуживания, определить основные характеристики функционирования СМО.

Желательно, чтобы прибывающий клиент не ждал своей очереди в среднем более 5 мин. Соответствует ли реальная ситуация данному пожеланию? Если нет, то что необходимо предпринять? Предположим, что консультант способен уменьшить среднее время, которое он проводит с клиентом, до 8 мин. Какой станет средняя скорость обслуживания? Будет ли достигнута желаемая цель?

Задача 9. В справочное многоканальное бюро аэропорта поступает в среднем 8 звонков за 1 мин. Средняя длительность разговора – 0,5 мин. Каждый звонок приносит доход 6 ден.ед., а содержание одного канала обходится в 4 ден.ед. в час. Найти оптимальное число телефонисток (каналов) и установить все основные характеристики СМО при оптимальном числе телефонисток.

Задача 10. Сервис-центр занимается посреднической деятельностью по продаже железнодорожных билетов и осуществляет часть своей деятельности по нескольким телефонным линиям. В среднем в сервис-центр поступает 95 звонков в час. Среднее время обслуживания каждого звонка составляет 2,5 минуты. Каждый звонок приносит доход 3 ден.ед., а содержание одного канала обходится в 2 ден.ед. в час. Найти оптимальное число телефонных линий (каналов) и определить основные характеристики функционирования СМО.

Задача 11. В магазине самообслуживания должны быть установлены кассовые аппараты. Известно, что в течение часа магазин посещают 96 чел., наибольшая очередь к кассе – 8 чел., среднее время обслуживания клиента – 2,5 мин. Каждый покупатель приносит доход 1,5 ден.ед., а содержание одного кассового аппарата (канала) обходится в 0,5 ден.ед. в час. Считая поток покупателей простейшим, определить оптимальное количество кассовых аппаратов (каналов обслуживания) и основные характеристики СМО.

Задача 12. Решается вопрос об установке в студенческом компьютерном магазине определенного количества принтеров. Известно, что скорость печати принтера в среднем составляет 18 страниц в минуту. Каждый файл в среднем содержит по 5 страниц. Печать начинается сразу после поступления файла на порт принтера. Среднее время между поступлениями файлов на принтер составляет 2 минуты. Если в момент поступления файла на печать принтер занят, то задания выстраиваются в неограниченную очередь. Каждый заказ приносит доход 8 ден.ед., а содержание одного принтера (канала) обходится в 4 ден.ед. в час. Требуется определить оптимальное количество принтеров и основные характеристики СМО.

Задача 13. Решается вопрос о найме на склад определенного количества грузчиков. Известно, что в среднем прибывает 4 машины в час. Среднее время разгрузки машины – 1 час. В очереди в ожидании разгрузки могут находиться не более 4-х машин. Разгрузка каждой машины приносит доход 40 ден.ед., а содержание одного грузчика (канала) обходится в 20 ден.ед. в час. Определить оптимальное количество грузчиков и основные характеристики функционирования СМО.

Задача 14. Автосервис решил нанять нового механика, для того что бы он менял старые покрышки на новые. На это место есть 2 кандидата. Один из них имеет ограниченный опыт и может быть нанят за 7 ден. ед /ч. Ожидается, что этот механик сможет обслуживать 3 клиентов в час. Другой механик более опытен, он в состоянии обслуживать 4 клиентов в час, но его можно нанять на работу за 10 ден. ед /ч. Клиенты прибывают со скоростью 2 чел /ч. Компания оценивает издержки по ожиданию клиентами своей очереди в 15 ден. ед /ч. Какого механика следует нанять, чтобы обеспечить меньшие совокупные издержки? Каковы минимальные совокупные издержки?

Задача 15. В читальный зал государственной библиотеки, которая имеет 60 посадочных мест, приходят посетители с интенсивностью 25 человек в час. Время пребывания каж­дого посетителя в среднем составляет 3 часа. Определить основные характеристики функционирования СМО и оценить эффективность её работы.

Задача 16. Абонентский отдел библиотеки обслуживают 5 библиотекарей. Время обслуживания одним библиотекарем читателя в среднем составляет 4 минуты. Интенсивность посещения читателями библиотеки составляет 3 человека в минуту. Если в момент при­хода читателя все библиотекари заняты, то он встает в очередь. Определить основные характеристики функционирования СМО и оценить эффективность её работы.

Задача 17. В билетной кассе работает один кассир, обслуживающий в среднем двух покупателей за одну минуту. Каждый час в среднем приходят покупать билеты 70 посетителей. Определить основные характеристики функционирования СМО и оценить эффективность её работы.

Задача 18. В поликлинике в кабинете флюорографии проходят прием в среднем 2 человека за 10 минут. Время приема распределено по показательному закону. Поток посетителей простейший с интенсивностью 4 человека в минуту. Очередь посети­телей, ожидающих приема, не ограничена. Определить основные характеристики функционирования СМО и оценить эффективность её работы. Найти также вероятность того, что кабинет за 1 час посетят: а) точно 12 человек, б) не более 8 человек.

Задача 19. Магазин посещает в среднем 70 человек в час. Имеющийся один кассир обслуживает в среднем одного покупателя в минуту. Очередь в зал обслуживания ограничена 6 покупателями. Определить основные характеристики функционирования СМО и оценить эффективность её работы.

Задача 20. Найти оптимальное число телефонных номеров на предприятии, если заявки на переговоры поступают с интенсивностью 1,4 заявки в минуту, а средняя продолжительность разговора по телефону составляет t _o6c = 2,5 минуты.

Задача 21. На железнодорожной станции находятся четыре кассы для продажи билетов. Когда все кассы заняты, пассажиры встают в очередь. Дли­на очереди не может превышать 40 человек. Среднее время обслуживания в одной кассе составляет 6 минут. Пассажиры прибывают на станцию для покупки билетов в среднем по три человека в минуту. Определить основные характеристики функционирования СМО и оценить эффективность её работы.

Контрольные вопросы

1 Что называется потоком событий?

2 Какой поток событий называется простейшим потоком?

3 Что называется интенсивностью потока событий?

4 Какая СМО называется многоканальной СМО?

5 Как классифицируются СМО?

6 Что называется абсолютной пропускной способностью СМО?

7 Что называется относительной пропускной способностью СМО?

8 Каковы основные показатели эффективности многоканаль­ной СМО с отказами?

9 Каковы основные показатели эффективности многоканальной СМО с ограниченной очередью?

10 Каковы основные показатели эффективности многоканальной СМО с неограниченной очередью?

Список литературы

1 Костевич, Л. С. Математическое программирование: информационные технологии оптимальных решений: учеб. пособие / Л. С. Костевич. – Минск: Новое знание, 2003. – 424 с.: ил.

2 Леоненков, А. В. Решение задач оптимизации в среде MS Excel / А. В. Леоненков. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 704 с.: ил.

3 Руководство к решению задач по математическому программированию: учеб. пособие / Под общ. ред. А. В. Кузнецова. – 2-е изд., перераб. и доп. – Минск: Выш. шк., 2001. – 448 с.: ил.

4 Экономико-математические методы и модели: учеб. пособие / Н. И. Холод, А. В. Кузнецов, Я. Н. Жихар и др.; под общ. ред. А. В Кузнецова. – 2-е изд. – Минск: БГЭУ, 2000. – 412 с.

5 Юферева, О. Д. Экономико-математические методы и модели: cб. задач. – Минск: БГЭУ, 2002. – 103 с.