Решение. а) По первому варианту имеем двухканальную СМО с неограниченным ожиданием, на которую поступает поток заявок со следующими параметрами:

а) По первому варианту имеем двухканальную СМО с неограниченным ожиданием, на которую поступает поток заявок со следующими параметрами:

1) число каналов n = 2;

2) число мест в очереди ;

3) среднее время обслуживания = 2 минуты;

4) интенсивность потока заявок l = 0,45 + 0,45 = 0,9 пассажиров в минуту;

5) интенсивность обслуживания мин^–1;

6) относительная нагрузка на систему пассажиров.

Необходимо проверить выполнение условия существования стационарного режима СМО: . Так как , то использование формул (5) является корректным.

Вероятность простоя двух кассиров

.

Среднее число пассажиров в очереди у кассы

пассажиров.

Среднее число пассажиров у кассы пассажиров.

Среднее время на ожидание в очереди составляет: мин.

Среднее время на покупку билетов составляет: мин.

По второму варианту имеем две одноканальные СМО с неограниченным ожиданием (два специализированных окошка), на каждую из которых поступает поток заявок со следующими параметрами:

1) число каналов n = 1;

2) число мест в очереди ;

3) среднее время обслуживания = 2 минуты;

4) интенсивность потока заявок l = 0,45 пассажиров в минуту;

5) интенсивность обслуживания мин^–1;

6) относительная нагрузка на систему пассажиров.

Необходимо проверить выполнение условия существования стационарного режима СМО: . Так как , то использование формул (5) является корректным.

Вероятность простоя одного кассира

.

Среднее число пассажиров в очереди у одного окошка

пассажира.

Среднее число пассажиров у одного окошка в кассу пассажиров.

Среднее время на ожидание в очереди у одного окошка в кассу составляет: мин.

Среднее время на покупку билетов составляет: мин.

Итак, по второму варианту увеличились и длина очереди, и среднее время ожидания в ней и в целом на покупку билетов. Такое различие объясняется тем, что в первом варианте (двухканальная СМО) меньше средняя доля времени, которую простаивает каждый их двух кассиров, если он не занят обслуживанием пассажира, покупающего билет в пункт А, и он, следовательно, может заняться обслуживанием пассажира, покупающего билет в пункт В, и наоборот. Во втором варианте такой взаимозаменяемости нет.

Можно заметить, что среднее время на покупку билетов по второму варианту увеличилось более чем в 2 раза. Такое значительное увеличение связано с тем, что СМО работает на пределе своих возможностей ( пассажиров): достаточно незначительно увеличить среднее время обслуживания , т.е. уменьшить , и относительная нагрузка на систему станет больше 1, т.е. очередь начнет неограниченно возрастать.

Для многоканальной СМО с ограниченным ожиданием интерес представляют обе группы характеристик: как абсолютная и относительная пропускная способности, так и характеристики ожидания.

Пусть в n -канальную СМО поступает простейший поток требований с интенсивностью λ; число мест в очереди ограничено и равно т. Время обслуживания требований (для одного канала) экспоненциальное, со средним значением t _обс .

Размеченный граф состояний системы с ограниченной длиной очереди представлен на рисунке.

Рисунок 3 – Граф состояний многоканальной системы с ограниченной длиной очереди

Предельные вероятности состояний системы (формулы Эрланга) имеют вид

(6)

где Р ₀ – вероятность свободного состояния системы, – финальные вероятности состояния системы (вероятности того, что обслуживанием заявок заняты k каналов), – вероятности того, что заявок находится в очереди при занятом количестве каналов .

Сумма значений всех найденных по формулам Эрланга вероятностей должна быть равна 1.

Требование получает отказ в том случае, когда все т мест в очереди заняты, то есть вероятность отказа

Относительная пропускная способность или вероятность того, что поступившее в систему требование будет принято к обслуживанию, дополняет вероятность отказа до единицы:

В систему поступает λ требований в единицу времени, а доля требований, принятых к обслуживанию, равна q. Следовательно, абсолютная пропускная способность

Каждый канал, если он занят, обслуживает в единицу времени mтребований, а вся система – А требований. Таким образом, среднее число занятых каналов

Среднее число требований , находящихся в очереди, вычислим как математическое ожидание числа требований, находящихся в очереди:

Подставив значения Р_n+r (r= 1, m) и выполнив преобразования, окончательно получим

.

Учитывая, что среднее число требований, находящихся под обслуживанием, совпадает со средним числом занятых каналов, среднее число требований, находящихся в системе, равно .

Среднее время пребывания требований в очереди

.

Среднее время пребывания заявки в системе

Среднее время пребывания требования в системе получим, если к среднему времени ожидания в очереди прибавим среднее время обслуживания, умноженное на относительную пропускную способность q.

Пример 3. На склад в среднем прибывают 5 машин в час. Разгрузку осуществляют 3 бригады грузчиков. Среднее время разгрузки машины – 1 час. В очереди в ожидании разгрузки могут находиться не более 3-х машин. Найти основные характеристики СМО и оценить эффективность её работы.

Решение. Основные параметры системы: число каналов n = 3 бригады; число мест в очереди m = 3 машины; среднее время обслуживания =1 час; интенсивность потока заявок l = 5 машин в час; интенсивность обслуживания час^–1; относительная нагрузка на систему машин.

Р ₀ – вероятность свободного состояния системы

т.е. грузчики работают практически без отдыха.

– финальные вероятности состояния системы (вероятности того, что обслуживанием заявок заняты k каналов) при

0,022

0,055

0,091

– вероятности того, что заявок находится в очереди при занятом количестве каналов

0,152

0,253

0,422.

Проверяем: 0,00438+0,022+0,055+0,091+0,152+0,253+0,422 ≈ 1.

Вероятность отказа в обслуживании прибывшей на склад машины:

0,422.

Т.е. вероятность отказа составляет 42 %.

Относительная пропускная способность равна

0,578.

Т.е. вероятность того, что поступившая на склад машина будет разгружена, составляет 57,8 %.

Абсолютная пропускная способность

машин в час.

Среднее число машин в очереди находим по формуле

1,926 машин

машин, т.е. существенно меньше = 4.

Среднее время пребывания машины в очереди находим по формуле

0,385 ч.

Среднее время пребывания машины на складе

0,963 ч.

что сравнимо со средним временем разгрузки машины. Можно сделать вывод, что разгрузка машин на складе организована не слишком эффективно, поскольку вероятность отказа в обслуживании составляет 42 %, и вероятность того, что 3 заявки находится в очереди при занятом количестве каналов =3, самая большая, т.е. необходимо увеличить количество грузчиков.