Многоканальная СМО с отказами

Для СМО с отказами наиболее важными характеристиками являются:

1) абсолютная пропускная способность A – среднее число заявок, которое может обслужить система за единицу времени.

2) относительная пропускная способность q – вероятность того, что поступившее в систему требование будет принято к обслуживанию (дополняет вероятность отказа до единицы).

3) в зависимости от задачи исследования могут быть важны и другие характеристики, например, среднее число занятых каналов , среднее относительное время простоя системы в целом и отдельного канала и т. д.

Если требование поступает в систему в момент, когда все п каналов заняты, то оно получает отказ (покидает систему необслуженным). Если же в момент поступления требования имеется хотя бы один свободный канал, то оно принимается к обслуживанию и обслуживается до конца. Размеченный граф состояний системы с отказами представлен на рисунке.

Пусть СМО содержит п канатов, интенсивность входящего потока заявок равна λ, а интенсивность обслуживания заявки каждым каналом равна μ. Размеченный граф состояний системы изображён на рис. 1.

Рисунок 1 – Граф состояний многоканальной системы с отказами

Состояние S₀ означает, что все каналы свободны, состояние S_k (k = ) означает, что обслуживанием заявок заняты k каналов, остальные свободны, S_n – заняты все п каналов, заявка получает отказ в обслужи­вании.

Переход из одного состояния в другое соседнее правое происходит скачкообразно под воздействием входящего потока заявок интенсивностью А независимо от числа работающих каналов (верхние стрелки). Для перехода системы из одного состояния в соседнее левое неважно, какой именно канал освободится. Величина k μхарактеризует интенсивность обслуживания заявок при работе в СМО k каналов (нижние стрелки).

Предельные вероятности состояний системы рассчитываются по формулам Эрланга, которые для рассматриваемой СМО имеют вид:

(4)

где Р ₀ – вероятность свободного состояния системы, Р_k – финальные вероятности состояния системы (вероятности того, что обслуживанием заявок заняты k каналов).

Сумма значений всех найденных по формулам Эрланга вероятностей должна быть равна 1.

Вероятность отказа в обслуживании равна вероятности того, что все каналы заняты, т.е. система находится в состоянии :

Относительная пропускная способность – вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию (дополняет до единицы):

Абсолютная пропускная способность – среднее число заявок, которое может обслужить СМО в единицу времени: A = λ .

Среднее число занятых каналов .

Пример 1. На вход многоканальной СМО с отказами поступает поток заявок, интенсивность которого составляет 7 заявок в час. Среднее время обслуживания одной заявки 0,25 часа. Каждая заявка приносит доход 150 ден.ед., а содержание одного канала обходится в 120 ден.ед в час. Найти оптимальное число каналов СМО.

Решение. Основные параметры системы:

1) число каналов n – нужно определить;

2) число мест в очереди m = 1;

3) среднее время обслуживания =0,25 часа;

4) интенсивность потока заявок l=7 заявок в час;

5) интенсивность обслуживания ч^–1;

6) относительная нагрузка на систему заявок.

Из условия задачи также вытекает, что в случае, если СМО имеет каналов, то она приносит доход , который можно определить по формуле , где – абсолютная пропускная способность СМО. Дальнейшие расчеты сведены в таблицу 12.1

Таблица 12.1 – Определение оптимального количества каналов

Число каналов	Вероятность свободного состояния системы	Вероятность отказа	Абсолютная пропускная способность , заявок	Доход ден.ед.
	= 0,364	0,636	2,545
	=0,234	0,204	5,569
	=0,193	0,056	6,61
	= =0,18	0,013	6,91

Сравнивая доходы, поступающие от СМО в случаях , можно отметить, что при увеличении каналов от одного до трех доход растет и становится наибольшим при . Это значение и является оптимальным количеством каналов.

Для многоканальной СМО с неограниченным ожиданием как абсолютная А, так и относительная пропускная способность q теряют смысл, так как каждая поступившая заявка рано или поздно будет обслужена. Зато для такой СМО весьма важными характеристиками являются:

1) среднее число заявок в очереди ,

2) среднее число заявок в системе (в очереди и под обслуживанием),

3) среднее время ожидания заявки в очереди ,

4) среднее время пребывания заявки в системе (в очереди и под обслуживанием), и другие характеристики ожидания.

Так как длина очереди не ограничена, то граф состояний (при ) в этом случае является бесконечным.

…

Рисунок 2 – Граф состояний многоканальной системы с неограниченным ожиданием

Далее представлены формулы для расчета характеристик СМО с неограниченной очередью.

Предельные вероятности состояний:

(5)

где Р ₀ – вероятность свободного состояния системы, – финальные вероятности состояния системы (вероятности того, что обслуживанием заявок заняты k каналов), – вероятности того, что заявок находится в очереди при занятом количестве каналов .

Сумма значений всех найденных по формулам Эрланга вероятностей должна быть равна 1.

Использование формул (5) является корректным лишь в том случае, когда выполняется условие существования стационарного режима СМО: . Смысл этого условия состоит в том, что суммарная интенсивность обслуживания, создаваемая всеми n одновременно работающими каналами, равная n μ, должна быть строго больше интенсивности входного потока заявок λ.

Так как число мест в очереди не ограничено, то все требования, поступившие в систему, рано или поздно будут обслужены. Следовательно, вероятность отказа

.

Среднее число занятых каналов

.

Среднее число требований, находящихся в очереди

Среднее число требований, находящихся в системе .

Среднее время пребывания требования в очереди .

Среднее время пребывания требования в системе

Пример 2. Железнодорожная касса с двумя окошками продает билеты в два пункта А и В. Интенсивность потока пассажиров, желающих купить билеты, для обоих пунктов одинакова: λ _А = λ _В = 0,45 пассажиров в минуту. На обслуживание пассажиров кассир тратит в среднем 2 мин. Рассматриваются два варианта продажи билетов: первый – билеты продаются в одной кассе с двумя окошками одновременно в оба пункта А и В; второй – билеты продаются в двух специализированных кассах (по одному окошку в каждой), одна только в пункт А, другая – только в пункт В. Необходимо сравнить два варианта продажи билетов по основным характеристикам обслуживания.