Список задач

Задача 1. Сельскохозяйственное предприятие имеет возможность выращивать картофель на трех участках: на участке У1 повышенной влажности, У2 средней влажности, У3 сухом. Урожайность картофеля зависит от погодных условий, в частности от количества осадков, выпадающих в течение сезона.. Если осадков выпадает меньше нормы, то средняя урожайность на участке У1 составляет 270 ц/га; при количестве осадков, близком к норме – 220 ц; если же осадков выпадает больше нормы, - 110ц; на участке У2 – соответственно 210, 250 и 140 ц.; на участке У3 – 120,260 и 280 ц. Установить, на каком участке следует выращивать картофель в предстоящем году.

Задача 2. Кафетерий «Мечта» реализует кондитерские изделия собственного изготовления. Спрос на пирожные может составить 100, 120, 140 или 160 шт. с вероятностью 0,2; 0,3; 0,4; 0,1 соответственно. Затраты на производство одного пирожного составляют 70 ден. ед., а цена реализации – 100 ден. ед. Если пирожные не продаются в течение 36 ч, они портятся и магазин несет убытки. Какое количество пирожных следует выпекать?

Задача 3. Небольшая частная фирма производит молочную продукцию. Один из ее продуктов – сыр. Необходимо решить, какое количество сыра следует производить в течение месяца, если вероятность того, что спрос составит 100, 150 или 200 кг равна соответственно 0,2; 0,5; 0,3. Затраты на производство 1 кг равны 1 тыс. ден. ед. Фирма продает сыр по цене 1 тыс. 200 ден. ед. за 1 кг. Если сыр не продается в течение месяца, то он снимается с реализации и фирма не получает дохода. Дать рекомендации, сколько сыра производить фирме.

Задача 4. Туристская фирма «Топ тур» берет на реализацию у фирмы «Смок» туристские путевки. Объем реализации путевок изменяется в зависимости от потребительского спроса в пределах от 6 до 9 ед. Если путевок меньше, чем требует спрос на них, то можно заказать недостающее количество. При этом возникнут дополнительные расходы в размере 4 ден. ед. за каждую новую путевку. А если количество путевок превышает спрос, то потери за невостребованные путевки составят 3 ден. ед. Прибыль от реализации одной путевки составляет 10 ден. ед. Определить, какое количество путевок выгоднее брать на реализацию.

Задача 5. Объем реализации товара Т за рассматриваемый период колеблется в зависимости от покупательского спроса в пределах от 4 до 6 ед. Прибыль торгового предприятия от единицы реализованного товара Т равна 2 ден. ед. Если запасенный товар полностью реализовать не удастся, то расходы на содержание и хранение остатка составят 3 ден. ед. за единицу товара. Используя игровой подход, определить оптимальный уровень запаса товара Т, обеспечивающий торговому предприятию наивысшую эффективность работы.

Задача 6. Небольшая фирма производит гигиенические средства для младенцев. В течение месяца реализуется 13, 14, 15 или 16 упаковок товара. От продажи каждой упаковки фирма получает 75 ден. ед. прибыли. Продукция имеет малый срок годности, поэтому, если упаковка не продана в месячный срок, она должна быть уничтожена. Поскольку производство одной упаковки обходится в 115 ден. ед., потери фирмы составляют 115 ден. ед., если упаковка не продана к концу месяца. Вероятности продать 13, 14, 15 или 16 упаковок за месяц составляют соответственно 0,20; 0,35; 0,1 и 0,35. Дать рекомендации по количеству производимой продукции.

Задача 7. Пятилетний срок эксплуатации производственного оборудования предприятия (цеха, участка цеха) может привести его в состояние, требующее а) замены отдельных деталей оборудования, б) капремонта оборудования, в) замены оборудования. Вероятности указанных состояний составляют 0,4; 0,5; 0,1. Руководитель предприятия может принять одно из трех решений для восстановления оборудования, которые соответственно потребуют следующих затрат:

1-е решение 5, 7, 12;

2-е решение 6, 8, 10;

3-е решение 12, 14, 9.

Проанализировав ситуацию, необходимо высказать соображения по принятию решения.

Задача 8. За некоторый промежуток времени на предприятии потребление исходного сырья в зависимости от его качества составляет 10, 11 или 12 ед. Если для выпуска запланированного объема основной продукции сырья окажется недостаточно, то запас его можно пополнить, что потребует дополнительных затрат в размере 5 ден. ед. в расчете на единицу сырья. Если же запас сырья превысит потребности, то дополнительные затраты на содержание и хранение остатка составят 2 ден. ед. на единицу сырья. Используя игровой подход, составить платежную матрицу и дать рекомендации по оптимальному уровню запаса сырья на предприятии, при котором дополнительные затраты на пополнение запаса, содержание и хранение остатка будут возможно меньшими.

Задача 9. Объём реализации товара Т, за рассматриваемый период времени, колеблется в зависимости от уровня покупательского спроса в пределах от 4 до 7 ед. Прибыль торгового предприятия от единицы реализованного товара Т равна 2 ден.ед. Если заранее запасенного товара окажется недостаточно для полного удовлетворения спроса в рассматриваемый период, можно заказать дополнительное количество товара, что потребует новых затрат на заказывание и доставку в размере 4 ден.ед. в расчете на единицу товара. При этом предполагается, что дополнительно заказанный товар доставляется и полностью реализуется в тот же период времени. Если же запасенный заранее товар полностью реализовать не удастся, то расходы на содержание и хранение остатка в рассматриваемом периоде составят 3 ден.ед. в расчете на единицу товара. Высказать рекомендации об оптимальном уровне запаса товара Т на торговом предприятии, обеспечивающем ему наивысшую эффективность работы с учетом торговой прибыли и возможных дополнительных затрат на заказ и доставку товара, содержание и хранение остатка.

Задача 10. За некоторый период времени на предприятии потребление исходного топлива Т в зависимости от его качества составляет 12, 14, 16 или 18 единиц. Если топлива Т окажется недостаточно, то запас его можно пополнить, что потребует дополнительных затрат в сумме 5 единиц в расчете на единицу топлива. Если же запас топлива превысит потребности, то дополнительные затраты на содержание и хранение остатка составят 7 единиц в расчете на единицу топлива. Требуется: 1) придать описанной ситуации игровую схему; 2) вычислить элементы платежной матрицы и составить её; 3) дать обоснованные рекомендации об оптимальном уровне запаса топлива, при котором дополнительные затраты на приобретение, содержание и хранение топлива будут минимальными, при следующих предположениях: а) вероятности q ₁, q ₂, q ₃, q ₄ потребности в топливе в количестве соответственно 12, 14, 16 и 18 единиц известны: q ₁=0,25; q ₂=0,3; q ₃=0,25; q ₄=0,2; б) потребление топлива в количествах 12, 14, 16 и 18 единиц представляется равновероятным.

Задача 11. За некоторый период времени на предприятии потребление исходного сырья S в зависимости от его качества составляет 10–12 ед. Если для выпуска запланированного объема основной продукции сырья S окажется недостаточно, запас его можно пополнить, что потребует дополнительных затрат в размере 5 ед. в расчете на единицу сырья. Если же запас сырья превысит потребности, то дополнительные затраты на содержание и хранение остатка составят 2 ед. в расчете на единицу сырья. Придать описанной производственной ситуации игровую схему и составить платежную матрицу. Дать рекомендации по созданию оптимального запаса сырья на предприятии.

Задача 12. Магазин может закупить для реализации 10, 15 или 20 ед. скоропортящегося товара по цене 3 ден. ед. за единицу товара. В зависимости от уровня спроса (пониженный, умеренный или повышенный) в день реализации может быть продано 10, 15 или 20 ед. товара по цене 5 ден. ед. за единицу товара. Предполагается, что остаток товара будет реализован на следующий день по сниженной цене в 2 ден. ед. за единицу товара. Придать описанной ситуации игровую схему и составить платежную матрицу (матрицу доходов). Дать рекомендации по оптимальной закупке товара.

Задача 13. Председатель сельхозкооператива решает закупить бочки для засолки огурцов. Виды на урожай колеблются от 700 до 1000 кг, в бочку вмещается 50 кг, цена бочки - 300 руб., затраты на засолку - 20 руб. за бочку, аренда места на рынке - 50 руб, реализационная цена - 7 руб/кг. Придать описанной ситуации игровую схему и составить платежную матрицу. Дать рекомендации по созданию оптимального запаса бочек в сельхозкооперативе.

Задача 14. Универмаг, работающий по 10 часов в сутки, ежедневно посещают от 7 до 10 тыс. чел. Cтоимость покупок одного посетителя в среднем – 50 руб. Время обслуживания - 1 мин. на покупателя. Затраты на оборудование одного рабочего места – 2400 руб., зарплата продавца - 1400 руб. в месяц. Найти число рабочих мест при планировании работы на год (300 рабочих дней), если покупатель не намерен стоять в очереди из более 7 чел.

Задача 15. Фирма, действующая в Карпатах, планирует десятидневные маршруты для туристов в летнем сезоне (60 дней). Известно, что число туристов в течение десятидневки колеблется от 1 до 1.3 тыс. чел. Группы комплектуются из 25 чел. Стоимость путевки – 2 тыс.руб. Заработная плата инструктора составляет 6 тыс.руб. в месяц. На экипировку группы затрачивается 1.5 тыс.руб., на питание группы – 12 тыс.руб. К тому же приходится оплачивать ремонт помещений и снаряжения при подготовке к сезону 30 тыс.руб. Сколько же инструкторов разумно пригласить на работу?

Задача 16. В транспортном цехе ежедневно выходит из строя от 4 до 8 агрегатов, каждый из которых мог бы дать продукции на 350 руб. Слесарь-ремонтник, получающий 2500 руб. в месяц, не может в день обслужить более двух станков. Сколько же слесарей должен привлечь на работу начальник транспортного цеха?

Задача 17. В городе N решено открыть яхт-клуб. Предполагаемое число членов клуба колеблется от 100 до 250 чел. Годовой абонемент стоит 1000 руб. Аренда причала, помещений для хранения яхт и стимулирование ускоренного получения лицензии обойдутся в 20 тыс.руб. Владельцу абонемента, не получившему яхты, выплачивается неустойка в двойном размере. Сколько же прогулочных яхт следует заказать, если каждая из них стоит 15 тыс.руб. и обычно ежедневно приходит каждый десятый любитель пребывания на воде (прочими затратами пренебречь)?

Задача 18. Организуются пригородные автобусные рейсы. Число пассажиров колеблется от 300 до 450 чел., из которых 10% имеют право бесплатного проезда. Цена билета 6 руб. Вместимость автобуса – 30 чел. Эксплуатационные затраты на один рейс – 50 руб. Оплата шофера за одну поездку - 60 руб. Сколько же организовать рейсов?

Задача 19. В райцентре решается вопрос о строительстве сыроваренного завода. Известно, что дневной объем поставок молока колеблется от 4800 до 5400 л в день. Один сепаратор ежедневно перерабатывает 600 л молока в 50 кг сыра. Стоимость аппарата 40000 руб, ежемесячные эксплуатационные расходы –1500 руб, аренда помещения – 12000 руб. в год. Молоко закупается по 3 руб/л, сыр продается по 45 руб/кг. Неиспользованное молоко приходится вывозить на свинокомплекс молоковозами (вместимость 5 т) с затратами 100 руб за рейс. Сколько же сепараторов закупать?

Задача 20. Прядильная фабрика ежемесячно получает от 35 до 50 т хлопка повышенной влажности. Один сушильный агрегат может высушить 5 т. Затраты на техническое обслуживание агрегата 1000 руб. (независимо от его использования или простоя). Потери от 1 т невысушенного хлопка - 7000 руб. Сколько агрегатов разумно иметь на фабрике?

Задача 21. В одном из небольших городов области планировалось строительство кинотеатра. Имелись проекты на 400, 500, 600 и 750 мест. Затраты на содержание кинотеатра составляли 40 руб. в день и дополнительно 10 руб. за каждые сто мест (свыше 600). В день можно было дать 6 сеансов, стоимость билета составляла в среднем 40 коп. Количество посетителей колебалось от 2000 до 3000 чел. Какой из проектов следовало выбрать?

Контрольные вопросы

1 Что такое конфликтная ситуация? Что называется игрой? Что такое природа? Что такое стратегия?

2 Что такое парная игра? Что такое матричная игра с нулевой суммой?

3 Какая стратегия называется оптимальной?

4 Что такое платежная матрица?

5 Что такое цена игры?

6 Как определить минимаксную стратегию?

7 Как найти максиминную стратегию?

8 Чему равна нижняя цена игры?

9 Как найти верхнюю цену игры?

10 Какая игра называется игрой с седловой точкой?

11 Как найти решение игры с седловой точкой?

12 Какая стратегия называется чистой?

13 Как задаётся смешанная стратегия?

14 Как находится решение матричной игры с нулевой суммой без седловой точки?

15 Чему равен выигрыш игрока А, когда только он играет по опти­мальной стратегии?

16 Как связаны задачи линейного программирования и матрицы игр?

17 Как связаны платежи игроков в парной игре с нулевой суммой?

18 Какие экономические задачи решаются с помощью матричных игр?

19 Какие игры называются играми с природой?

20 Как находится оптимальное решение в играх с природой?

21 Какие оптимистические критерии применяются в играх с приро­дой?

22 Как записывается критерий Вальда? Сэвиджа? Гурвица?