Решение. Пусть величины объема потребления (игроком А) пропорциональны состояниям природы Пi

Пусть величины объема потребления (игроком А) пропорциональны состояниям природы П_i. Заготавливая летом уголь, домовладелец может ориентироваться либо на мягкую зиму (первая его чистая стратегия A ₁), либо на обычную (вторая его чистая стратегия A ₂), либо на холодную (третья его чистая стратегия A ₃), покупая соответственно 4, 5 или 6 т. угля. Игрок «Природа» может реализовать либо мягкую зиму (первая его чистая стратегия П ₁), либо обычную (вторая его чистая стратегия П ₂), либо холодную зиму (третья его чистая стратегия П ₃), что потребует затрат 4, 5 или 6 т. угля соответственно. Если решающее правило сформулировать как «доход минус издержки», то элементы платежной матрицы вычисляются так, как показано в таблице 1. Плата домовладельца за уголь лишь условно может называться его выигрышем, поскольку будет выражаться отрицательными числами (приходится отдавать собственные деньги!), а наилучшей будет стратегия, при которой затраты минимизируются.

Таблица 1

	Мягкая зима П 1=4	Обычная зима П 2=5	Холодная зима П 3=6	min
A 1=4	Закуплено летом 4 т., оказалось, что зима мягкая и нужно 4 т. –(4·7)= –28	Закуплено летом 4 т., оказалось, что надо дополнительно купить в обычную зиму еще 1 т. –(4·7+1·9)= –37	Закуплено летом 4 т., оказалось, что нужно дополнительно купить в холодную зиму еще 2 т. –(4·7+2·10)= –48	–48
A 2=5	Закуплено летом 5 т., оказалось, что нужно 4 т., и неизрасходованный уголь продать возможности нет: –(5·7)= –35	Закуплено 5 т., оказалось, что нужно 5 т. –(5·7)= –35	Закуплено 5 т., оказалось, что нужно дополнительно купить в холодную зиму еще 1 т. –(5·7+1·10)= –45	–45
A 3=6	Закуплено 6 т., оказалось, что нужно 4 т. –(6·7)= –42	Закуплено 6 т., оказалось, что нужно 5 т. –(6·7)= –42	Закуплено 6 т., оказалось, что нужно 6 т. –(6·7)= –42	–42
max	–28	–35	–42

Найдем нижнюю чистую цену игры по формуле:

.

Верхнюю чистую цену игры находим по формуле:

.

Так как верхняя цена и нижняя цена равны, то игра имеет седловую точку, решается в чистых стратегиях и имеет чистую цену игры v = α = β= –42. Решение игры: (А ₃, В ₃, –42).

Оптимальный выбор для сознательного игрока А – чистая стратегия А ₃, т.е. игроку А следует рекомендовать запасти летом 6 т. угля, за что придется заплатить 42 ден.ед. Давать рекомендации второму игроку П (природе) по оптимальному поведению не имеет смысла.

Рассмотрим примеры применения различных критериев. Так как в задаче не указаны вероятности состояний природы, будем использовать критерии второй группы.

По критерию Вальда оптимальная максиминная чистая стратегия ,при которой в наихудших условиях гарантируется максимальный выигрыш игрока А, определяется по формуле:

В нашем случае Таким образом, по критерию Вальда с позиции крайнего пессимизма для игрока А оптимальной является третья стратегия, соответствующая α.

Для вычисления оптимальной стратегии по критерию Сэвиджа требуется как платежная матрица (таблица 1), так и матрица рисков. Составим матрицу рисков (таблица 2) с учетом того, что элементы матрицы рисков определяются по формуле , где – максимально возможный выигрыш игрока А при состоянии .

Таблица 2

	Мягкая зима П 1=4	Обычная зима П 2=5	Холодная зима П 3=6	mах
A 1=4	= – 28–(–28) = 0	= – 35–(–37) = 2	= – 42–(–48) = 6
A 2=5	= – 28–(–35) = 7	= – 35–(–35) = 0	= – 42–(–45) = 3
A 3=6	= – 28–(–42) = 14	= – 35–(–42) = 7	= – 42–(–42) = 0
	–28	–35	–42

Оптимальной по критерию Сэвиджа (минимаксного риска) считается чистая стратегия А_i, обеспечивающая минимум максимального риска, т. е.

.

= 6.

По критерию Сэвиджа оптимальной является первая стратегия игрока А. Данная рекомендация выработана с точки зрения крайнего пессимизма, но здесь пессимизм понимается в ином свете: рекомендуется всячески избегать большого риска при принятии решения.

Оптимальной по критерию Гурвица считается чистая стратегия, найденная из условия:

,

где коэффициент доверия γ принадлежит интервалу (0; 1) и выбирается из субъективных соображений.

Пусть в нашем случае γ = 0,8 (в позиции, близкой к крайнему пессимизму).

Вычислим каждое значение по выражению в скобках в формуле критерия Гурвица:

0,8 · (–48) + (1 – 0,8) · (–28) = –44

0,8 · (–45) + (1 – 0,8) · (–35) = –43

0,8 · (–42) + (1 – 0,8) · (–42) = –42

.

Таким образом, по критерию Гурвица оптимальной является третья стратегия игрока А.

Рассмотрим теперь примеры применения критериев первой группы.

Предположим, что известны вероятности состояний природы: вероятность наступления мягкой зимы составляет 0,5, обычной зимы – 0,4, холодной зимы – 0,1. Таким образом, становится возможным применение критерия Байеса.

Оптимальной по критерию Байеса считается чистая стратегия А_i, при которой максимизируется средний выигрыш игрока А:

–28 · 0,5 – 37· 0,4 – 48· 0,1 = –33,6

–35 · 0,5 – 35· 0,4 – 45· 0,1 = –36

–42 · 0,5 – 42· 0,4 – 42· 0,1 = –42

Таким образом, по критерию Байеса оптимальной является первая стратегия.

Оптимальной по критерию Лапласа считается чистая стратегия , обеспечивающая максимум среднего выигрыша

.

При этом считают все состояния П_j природы равновероятными: , где n – количество стратегий.

(1/3) · (–28 – 37 – 48) = –37,67

(1/3) · (–35 – 35 – 45) = –38,33

(1/3) · (–42 – 42 – 42) = –42

.

Таким образом, по критерию Лапласа оптимальной является первая стратегия.

Подытожим наши расчеты оптимальных стратегий игрока А по критериям.

По критерию Вальда оптимальной является третья стратегия.

По критерию Сэвиджа оптимальной является первая стратегия.

По критерию Гурвица оптимальной является третья стратегия.

По критерию Байеса оптимальной является первая стратегия.

По критерию Лапласа оптимальной является первая стратегия.

Таким образом, три критерия рекомендуют первую стратегию, два критерия – третью стратегию.