Дисперсия случайных величин и методы её оценивания

Дисперсия случайной величины характеризует квадратическую меру разброса случайной величины вокруг её математического ожидания.

Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания

. (1.3)

Для более удобного представления выражения (1.3) раскроем скобки

. (1.4)

Дисперсия дискретной случайной величины .

Обозначим , тогда выражение (1.3) примет вид

.

Поэтому, используя оценку математического ожидания (1.1), получим

, (1.5)

где - квадрат отклонения случайной величины от её математического ожидания; - вероятность появления ; - число возможных значений .

Приняв во внимание выражение дисперсии (1.4), можно получить разностный аналог оценки дисперсии

. (1.6)

Дисперсия непрерывной случайной величины .

С учётом выражения (1.3) запишем дисперсию непрерывной случайной величины (математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания)

. (1.7)

Здесь значения случайной величины принадлежат интервалу .

Если выражение (1.7) примет вид

либо

.

Оценка дисперсии непрерывной случайной величины по выборке статистически независимых величин рассчитывается по формуле

. (1.8)

Основные свойства дисперсии:

1. Дисперсия любой случайной величины неотрицательна

.

2. Дисперсия постоянной величины (константы) равна нулю

.

3. Постоянный множитель возводится в квадрат и выносится за знак дисперсии

.

4. Дисперсия суммы взаимно независимых случайных величин равна сумме их дисперсий

.

5. Дисперсия разности двух взаимно независимых случайных величин равна сумме их дисперсий

.