Функция распределения вероятностей случайной величины

Случайная величина под влиянием неконтролируемых обстоятельств способна принимать различные значения, заранее указать которые нельзя. Следовательно, чтобы изучать случайную величину, необходимо знать значения которые она принимает и как часто, т.е. с какой вероятностью она принимает эти значения.

Функцией распределения непрерывной случайной величины называется функция , задающая вероятность того, что случайная величина принимает значение, меньше , т.е.

.

Иногда функцию называют интегральной функцией распределения.

Для дискретной случайной величины которая может принимать значения , функция распределения имеет вид , где неравенство под знаком суммы означает, что суммирование касается всех тех значений , величина которых меньше .

Основные свойства функция распределения любой случайной величины:

1. Функция распределения вероятностей определена на интервале , и .

2. Значения функции распределения принадлежат интервалу , т.е.

.

3. Функция распределения является неубывающей функцией: если , то .

4. Вероятность попадания случайной величины в интервал равна разности значений функции распределения

.

Для построения оценки функции распределения вероятностей сформулируем следующую постановку задачи.

Пусть имеется выборка статистически независимых наблюдений случайной величины , распределённая с неизвестным законом. Элементы выборки упорядочены по возрастанию их значений. Для некоторого фиксированного значения часть элементов исходной выборки оказались меньше , а остальные элементы больше.

Необходимо построить оценку функции распределения (рис. 1.2).

Тогда в качестве оценки вероятности можно принять частоту появления события :

, (1.13)

где - число появления событий , - общее количество опытов, а - единичная функция, которая принимает следующие значения

Рис. 1.2. Построение оценки функции распределения вероятностей

В асимптотике при оценка функции распределения стремится к искомой (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Оценка функции распределения вероятностей. Кривая 1 соответствует объёму выборки , кривая 2 - , кривая 3 - .

В том случае, если многомерная случайная величина, оценка функции распределения принимает вид

, (1.14)

где - знак произведения.

Для трёхмерной случайной величины оценка функции распределения (1.14) принимает вид

.