Математическое ожидание случайных величин и методы его оценивания

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие вероятности появления этих значений, т.е.

, (1.1)

где , - значения, принимаемые случайной величиной ; - вероятность появления . Причём .

Если дискретная случайная величина принимает бесконечное счётное множество значений, то её математическое ожидание выражается формулой

,

при этом математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Пример. Пусть объектом исследования является шестисторонняя игральная кость. После проведения испытаний (бросание игральной кости) получена выборка , состоящая из значений случайной величины - выпадения сторон игральной кости.

Необходимо вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины .

Решение. Необходимо подсчитать сколько раз выпадала каждая из шести сторон кости. После этого вычислить их вероятности , . В результате имеем выборку . Используя выражение (1.1) определим оценку математического ожидания случайной величины .

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины , возможные значения которой принадлежат интервалу с плотностью вероятности , называют определённый интеграл

.

Если возможные значения , то

.

Здесь предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно, т.е. существует.

Оценка математического ожидания непрерывной случайной величины по выборке статистически независимых величин рассчитывается по формуле

. (1.2)

Свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины (константы) равно этой константе

.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания

.

3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий

.

4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин

.