Фазовая диаграмма

Рис. 8.3 получен наложением Рис. 8.1 и 8.2. Диаграмма показывает возможную динамику и в соответствии с (8.23)-(8.24) для данных начальных состояний. Предположим, например, что динамика системы начинается в точке . Тогда, т.к. больше 1, фирмы увеличивают свой капитал, т.е. является положительным. А т.к. величина - большая, и следовательно, прибыль – низкая, то значение может быть большим, только если ожидается его дальнейший рост. А значит также является положительным.

Так же как и в модели Рамсея начальный капитал задан. Но значение другой переменной – потребления в модели Рамсея или рыночной оценки капитала в рассматриваемой модели – может свободно регулироваться, так что ее начальный уровень подлежит определению. Так же как и в модели Рамсея, здесь существует единственное значение , которое для данного обеспечивает движение системы по устойчивой траектории. А именно, существует единственное значение , для которого и сходятся к устойчивому стационарному состоянию (точка на диаграмме). Если первоначальное значение ниже определенного уровня, отрасль рано или поздно окажется в области на диаграмме, где и начнут снижаться, и это будет продолжаться бесконечно. Аналогично, если первоначальное значение слишком высокое, система попадет и останется в области, где и возрастают. Можно показать, что подобные траектории нарушают условие трансверсальности, и, следовательно, могут быть исключены из рассмотрения.[10]

Рисунок 8.3 Фазовая диаграмма

Данные рассуждения объясняют, почему оптимальная политика фирмы должна соответствовать условию трансверсальности. Например, двигаясь вдоль траектории начинающейся в точке , репрезентативная фирма постоянно накапливает капитал, потому что ее оценка этого капитала всегда высока. Но эта высокая стоимость определяется вовсе не высоким предельным доходом капитала, а тем, что эта стоимость сама по себе растет (т.е. уравнение [8.19], , выполняется для большого не за счет высокого значения , а за счет высокого значения ). Но такая высокая и все возрастающая оценка капитала имеет смысл только в том случае, если накопленный капитал когда-нибудь отразится значительно на прибыли фирмы. Если рассматривать траекторию, начинающуюся в точке , то этого никогда не случится. Можно показать, что в действительности фирма может увеличить приведенную стоимость будущей прибыли, переходя на более низкую траекторию накопления капитала. Аналогичные рассуждения применимы к ситуации, когда и все время снижаются.

Таким образом, единственно равновесной является ситуация, когда для данного начального значения уровень определяется таким образом, что отрасль оказывается на седловой траектории, двигаясь вдоль которой она приближается к точке . Эта седловая траектория показана на Рис. 8.4.

Рисунок 8.4 Седловая траектория

В долгосрочном равновесии, в точке , (т.е. ) и . Факт, что равно 1 означает равенство рыночной и восстановительной стоимости дополнительной единицы капитала, так что у фирмы нет стимула наращивать или снижать свой капитал. И как следует из (8.19), равенство нулю, когда равно 1 означает, что предельный доход капитала должен быть равен . При этом доход от владения единицей капитала в точности соответствует упущенному процентному доходу, так что инвесторы согласны держать капитал, не предполагая капитального выигрыша или потерь.[11]