Задача фирмы для версии модели в дискретном времени

Введенные предположения означают, что в каждый момент времени прибыль фирмы определяется как . Фирма максимизирует интегральную приведенную прибыль

(8.6)

Для простоты здесь предполагается, что реальная ставка процента постоянна. Каждая фирма рассматривает траекторию капитала в отрасли, , как заданную, и, учитывая ее, находит траекторию собственных инвестиций, максимизирующую .

Для решения поставленной задачи оптимизации необходимо использовать вариационное исчисление. Чтобы лучше понять этот метод, удобнее рассмотреть вначале версию модели в дискретном времени. [4] В данном случае динамика капитала фирмы представлена уравнением , а функция издержек регулирования имеет вид . Тогда целевая функция фирмы

(8.7)

Мы можем считать, что фирма в каждый момент времени принимает решение относительно своих инвестиций и капитала, которые связаны бюджетным ограничением . Поскольку имеется бесконечно много периодов, имеется также и бесконечно много ограничений. Функция Лагранжа для задачи фирмы записывается в виде:

(8.8)

Здесь - множитель Лагранжа, ассоциированный с ограничением, связывающим и . Он характеризует предельную стоимость ослабления бюджетного ограничения. Другими словами, он определяет приращение интегральной приведенной прибыли фирмы, вызванное экзогенным увеличением на единицу. Определим новую переменную ; она задает оценку дополнительной единицы капитала в момент времени в ценах периода . [5] Используя это обозначение, мы можем переписать функцию Лагранжа в виде:

(8.9)

Запишем условие первого порядка для оптимального выбора инвестиций в момент времени :

(8.10)

Умножая это равенство на , получаем:

(8.11)

Чтобы проинтерпретировать данное условие, заметим, что издержки наращивания капитала на единицу равны цене, по которой эта единица капитала приобретается (равной, по предположению, 1), плюс предельные издержки регулирования. Уравнение (8.11) показывает, что фирма инвестирует до тех пор, пока издержки единичного наращивания капитала не сравняются с его оценкой.

Теперь рассмотрим условие первого порядка для капитала в момент времени . Правая часть (8.9) содержит под знаком суммы как , так и . Следовательно, капитал в момент времени , , должен встречаться в компоненте суммы, как для момента времени , так и момента времени . Значит, условие первого порядка для имеет вид:

(8.12)

Умножая полученное выражение на и преобразуя, получаем:

(8.13)

Если определить , то можно переписать правую часть (8.13) в виде , или . В конечном итоге получается, что

(8.14)

В левой части (8.14) стоит предельный доход от капитала, а в правой части стоят альтернативные издержки дополнительной единицы капитала. Можно дать следующее интуитивное объяснение: обладание единицей капитала на протяжении определенного периода связано с отказом от возможного реального процентного дохода и с получением прибыли от капитала (см. выражение [8.4] при нулевой норме выбытия; в [8.14] присутствует также произведение и , которое отсутствовало бы в случае непрерывного времени). В соответствии с (8.14) фирма действует оптимально, когда отдача на капитал равна соответствующим альтернативным издержкам. Данное условие аналогично условию в модели без учета издержек регулирования капитала, которое требует равенства предельного дохода от капитала цене его аренды в точке оптимума*.

Еще одно условие характеризует поведение фирмы, когда время стремится к бесконечности. Предположим вначале, что фирма имеет конечный временной горизонт . Оптимальное поведение фирмы исключает возможность владения в момент времени капиталом со строго положительной приведенной стоимостью. В противном случае, существовала бы возможность увеличить интенгральную приведенную прибыль, просто снижая этот капитал. Приведенная стоимость капитала фирмы в момент времени равна ,значит, данная величина не может быть строго положительной. С другой стороны, ни один из трех компонентов этой величины, , и , не может быть строго отрицательным: более высокий капитал не может снижать будущую прибыль, нельзя владеть отрицательным запасом капитала, и положительно по предположению. Таким образом, величина не может быть строго отрицательной. Но тогда

(8.15)

Аналог данного условия для случая бесконечного временного горизонта имеет вид:

(8.16)

Условие (8.16) называют условием трансверсальности. Оно требует, чтобы приведенная стоимость капитала фирмы стремилась к нулю. Если данное условие не соблюдается, то, грубо говоря, фирма вечно держит капитал с ненулевой стоимостью. Снижая его, фирма может увеличить приведенную стоимость своей прибыли. [6]