Случай непрерывного времени

Теперь мы можем перейти к рассмотрению версии модели в непрерывном времени. Условия максимизация прибыли фирмы в данном случае будут аналогичны условиям (8.11), (8.14) и (8.16) для случая дискретного времени. На самом деле, условия оптимального поведения в непрерывном времени могут быть выведены из условий для дискретного случая путем разбиения времени на интервалы длины с последующим предельным переходом. Однако мы не воспользуемся данным методом. Вместо этого, по аналогии со случаем дискретного времени, мы объясним как найти условия первого порядка и докажем их необходимость.

Задача фирмы теперь будет состоять в максимизации целевой функции (8.6) в непрерывном времени, вместо максимизации (8.7) в дискретном времени. На первом шаге анализа необходимо записать гамильтониан в ценах периода t:

(8.17)

Данное выражение записывается аналогично соответствующей компоненте функции Лагранжа в дискретном времени для момента времени (при этом только отсутствует член, характеризующий приращение капитала, см. [8.9]). Данная задача имеет свою стандартную терминологию. Переменная, которой можно свободно управлять, , называется переменной управления. Переменная, значение которой в каждый момент времени определяется предшествующими решениями, , называется переменной состояния. Теневая цена переменной состояния носит название сопряженной переменной.

Первое условие оптимальности требует, чтобы производная гамильтониана по переменной управления равнялась нулю в каждый момент времени. Это условие аналогично соответствующему условию в задаче с дискретным временем, которое требовало равенства нулю производной функции Лагранжа по для любого . В непрерывном времени условие, аналогичное (8.11), записывается в виде:

(8.18)

Второе условие состоит в следующем: производная гамильтониана по переменной состояния должна равняться произведению нормы дисконтирования и сопряженной переменной за вычетом производной сопряженной переменной по времени. В рассматриваемой задаче это выглядит так:

(8.19)

Данной условие аналогично (8.14) в задаче с дискретным временем[7].

Последнее условие – это условие трансверсальности в непрерывном времени:

(8.20)

Условия (8.18), (8.19) и (8.20) характеризуют поведение фирмы.

И, наконец, следует отметить, что мы можем выразить стоимость дополнительной единицы капитала через будущие значения предельного дохода от капитала. Из условия (8.19) мы имеем:

(8.21)

для любого .[8] Используя условие трансверсальности, можно показать, что второе слагаемое в правой части стремится к нулю, когда стремится к нулю. Поэтому мы получаем

(8.22)

Уравнение (8.22) показывает, что оценка дополнительной единицы капитала в каждый момент времени равна приведенному потоку будущих предельных доходов, получаемых от ее использования.