Методы нахождения эффективных альтернатив. Теорема 1

Первый способ. Поиск всего множества эффективных альтернатив Х^* сводиься к решению задачи параметрического программирования: при чем функции являются вогнутыми и непрерывными, а область допустимых альтернатив Х представляет собой выпуклое замкнутое множество. В том случаи, когда функции не явл. вогнутыми или множество допустимых альтернатив не выпукло, до данный метод решения задачи не позволяет отыскать все множество альтернатив.

Второй способ. Поиск всего множества Х^* сводится к решению такой задачи параметрического программирования: minx_xєХmax_iєL W_i(x), при чем функции – монотонные преобразования целевой функции

В данном случаи требования вогнутости и непрерывности для целевых функций, а также выпуклости множества допустимых альтернатив не выдвигаются, но необходимо учитывать, что в случаи существования действительного решения задачи данным способом не все найденные альтернативы могут быть эффективными и необходим дополнительный анализ.

Третий способ. Множество эффективных альтернатив для целевой функции f может быть найдена путем решения такой задачи параметрического программирования относительно параметров z є Z^M-1: max_xf₁(x)

f_i(x) z_i, i є I₁, i

f_i(x) z_i, i є I₂

x , где Z^M-1-(М-1)-измеримый параллелепипед.

Отметим, что за основную оптимизационную функцию необходимо выбирать такую целевую функцию, оптимум которой достигается только в эффективных точках. Как и во втором случаи не все полученные альтернативы этим способом явл. эффективными, поэтому возникает необходимость в дополнительном анализе.

Теорема1. Пусть функція w_i(x) вогнута для i є I, а множество допустимых альтернатив х-выпукло. Тогда для любой эффективности альтернативы х^* существует вектор с=(с₁,с₂…с_n) такой что с_i 0, ,что линейный критерий достигает минимума в точке x^*, min_xF(x)=F(x^*).