Методы нахождения эффективных альтернатив. Теорема 3

Первый способ. Поиск всего множества эффективных альтернатив Х^* сводится к решению задачи параметрического программирования: при чем функции являются вогнутыми и непрерывными, а область допустимых альтернатив Х представляет собой выпуклое замкнутое множество. В том случаи, когда функции не явл. вогнутыми или множество допустимых альтернатив не выпукло, до данный метод решения задачи не позволяет отыскать все множество альтернатив.

Второй способ. Поиск всего множества Х^* сводится к решению такой задачи параметрического программирования: minx_xєХmax_iєL W_i(x), при чем функции – монотонные преобразования целевой функции

В данном случаи требования вогнутости и непрерывности для целевых функций, а также выпуклости множества допустимых альтернатив не выдвигаются, но необходимо учитывать, что в случаи существования действительного решения задачи данным способом не все найденные альтернативы могут быть эффективными и необходим дополнительный анализ.

Третий способ. Множество эффективных альтернатив для целевой функции f может быть найдена путем решения такой задачи параметрического программирования относительно параметров z є Z^M-1: max_xf₁(x)

f_i(x) z_i, i є I₁, i

f_i(x) z_i, i є I₂

x , где Z^M-1-(М-1)-измеримый параллелепипед.

Отметим, что за основную оптимизационную функцию необходимо выбирать такую целевую функцию, оптимум которой достигается только в эффективных точках. Как и во втором случаи не все полученные альтернативы этим способом явл. эффективными, поэтому возникает необходимость в дополнительном анализе.

Теорема3. Если х^*-эффективная альтернатива множества функций f_i, i є I, то найдется такой индекс

l є I₁: f_l(x^*)=maxf_l(x)

f_i(x^*) f_i(x), i є I₁, i

f_i(x^*) f_i(x), i є I₂

l є I₂: f_l(x^*)=minf_l(x)

f_i(x^*) f_i(x), i є I₁

f_i(x^*) f_i(x), i є I₂, i