Методы нахождения эффективных альтернатив. Теорема 2

Первый способ. Поиск всего множества эффективных альтернатив Х^* сводиься к решению задачи параметрического программирования: при чем функции являются вогнутыми и непрерывными, а область допустимых альтернатив Х представляет собой выпуклое замкнутое множество. В том случаи, когда функции не явл. вогнутыми или множество допустимых альтернатив не выпукло, до данный метод решения задачи не позволяет отыскать все множество альтернатив.

Второй способ. Поиск всего множества Х^* сводится к решению такой задачи параметрического программирования: minx_xєХmax_iєL W_i(x), при чем функции – монотонные преобразования целевой функции

В данном случаи требования вогнутости и непрерывности для целевых функций, а также выпуклости множества допустимых альтернатив не выдвигаются, но необходимо учитывать, что в случаи существования действительного решения задачи данным способом не все найденные альтернативы могут быть эффективными и необходим дополнительный анализ.

Третий способ. Множество эффективных альтернатив для целевой функции f может быть найдена путем решения такой задачи параметрического программирования относительно параметров z є Z^M-1: max_xf₁(x)

f_i(x) z_i, i є I₁, i

f_i(x) z_i, i є I₂

x , где Z^M-1-(М-1)-измеримый параллелепипед.

Отметим, что за основную оптимизационную функцию необходимо выбирать такую целевую функцию, оптимум которой достигается только в эффективных точках. Как и во втором случаи не все полученные альтернативы этим способом явл. эффективными, поэтому возникает необходимость в дополнительном анализе.

Теорема2. Пусть х^* - эффективная альтернатива на множестве целевых функций , тогда существует такой вектор с=(с₁,с₂…с_n), , ,что критерий такого вида: F(x)=max(c_iw_i(x)) достигает минимума на множестве допустимых альтернатив Х в точке х^*. F(x^*)=minx_xmax_x(c_iw_i(x)), т.е. решаем задачу max_i(c_iw_i(x)) min x є X, c є Г= .