Понятие бинарного отношения. Способы задания отношений

R називають бінарним відношенням на множині A, Якщо . При цьому замість запису часто використовують запис xRy.

Відношенням R на множині Ω називається підмножина декартового добутку ΩхΩ, тобто R Ω².

Для того, щоб задати відношення (R, Ω), необхідно задати всі пари елементів (х,у)є ΩхΩ, які включено в множину R. Крім повного переліку всіх пар, існують 3 способи задання відношень: за допомогою матриці, графа, розрізів. Перші 2а застосовують, щоб задати відношення на скінченних множинах, задання відношення розрізами може бути застосовано й до нескінченних множин.

Задання відношення за допомогою матриці. Нехай множина Ω складається з n елементів, R – подане на цій множині бінарне відношення. Пронумеруємо елементи множини Ω цілими числами від 1 до n. Для того, щоб задати відношення, побудуємо квадратну таблицю розміром nxn. Її і-й рядок відповідає елементу х_і множини Ω, j-й стовпчик - елементу х_j з множини Ω. На перетині і-го рядка та j-го стовпчика ставимо 1, якщо елемент х_і перебуває у відношенні R з елементом х_j, і 0 в інших випадках, а саме: .

Для того, щоб задати відношення графом поставимо у взаємно однозначну відповідність елементам скінченної множини W, на якій визначено відношення, вершини графа x₁…x_n (за будь-якою нумерацією).

Проведемо дугу від x_i, до x_j тоді й тільки тоді, коли виконується x_iRx_j (якщо i=j дуга (x_i,x_j) перетворюється у петлю при вершині x_i). Якщо задано будь-який орієнтований граф G з n вершинами, та вибрана нумерація на множині W, то таким чином на W задане деяке відношення R=R(G), таке, що x_iRx_j виконується тоді і тільки тоді, коли в графі G є дуга (x_i,x_j). Отже, граф є геометричним зображенням відношення.

Розглянемо відношення R на множині Ω. Верхнім розрізом відношення (R, Ω) в елементі х, позначене через R⁺ (х), наз. множина елементів ує Ω, для яких виконано умову: (у,х)єR, тобто R⁺ (х)= Ω| . Нижнім розрізом R^-- (х) відношення (R, Ω) в елементі х наз. множина елементів уєΩ, для яких (х,у)є R, а саме R^-- (х)= Ω| . Таким чином, щоб задати відношення за доп. розрізів, необхідно описати всі верхні, або всі нижні його розрізи. Тобто відношення R буде задано, якщо для кожного елемента хєΩ задано множину R⁺ (х), або для кожного елемента хєΩ задано множину R^-- (х).

5. Понятия R – оптимальности. Принятие решений на основе заданных отношений предпочтения.

Елемент x^* з множини Х будемо називати найкращим за відношенням R, якщо для виконується .

Елемент будемо називати найгіршим за відношенням R, якщо має місце .

Легко бачити, що найкращий та найгірший елементи існують не завжди. Зауважимо, що якщо найкращі елементи існують, то вони будуть і максимальними, але не навпаки.

Елемент x_max називається максимальним за відношенням на множині Х, якщо для має місце або , або x_max незрівняний з Х. Тобто не існує елемента (альтернативи) , який би був кращим за альтернативу x_max.

Елемент x_min називається мінімальним відносно на множині Х, якщо для або або х незрівняний з x_min. Тобто не існує елемента який би був гіршим за x_min, немає жодного елемента х, який би домінувався елементом x_min.

Якщо треба обрати найкращу в деякому сенсі альтернативу, то природним буде вибір із множини максимальних (недомінованих) альтернатив.